π?π?sin?2×＋φ?＝1，而0<φ<π，所以φ＝.
66??
π???π??2π＋π? 所以f(x)＝2sin?2x＋?，因此f??＝2sin?6?6???3??3?＝1.]
【名师点评】 作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移
|φ|
个单位，而非|φ|个单位．
ω
1
1．(2016·苏北三市三模)已知函数f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函数g(x)＝tan x的
2图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．
311ππ?π?π [由sin x＝tan x得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝，又f??＝sin＝42233?3?3. 2
3??π
不妨设A(0,0)，B?，?，C(π，0)，
?32?133
∴S△ABC＝×π×＝π.]
224
π?π?2．将函数f(x)＝2sin?ωx－?(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)
3?3ω?
?π?的图象，若y＝g(x)在?0，?上为增函数，则ω的最大值为________．
4??
π?π???2 [平移后的解析式为g(x)＝2sin?ω?x＋?－?＝2sin ωx，此函数的单调递增区
??3ω?3?间为
2kπ
ω－
π2kππ?π?≤x≤＋，故?0，??
4?2ωω2ω??2kπ－π，2kπ＋π?(k∈Z)，即
?ω2ωω2ω???
2kππ
??ω－2ω≤0， ①?2kπππ??ω＋2ω≥4. ②
1
由①式得k≤，由②式得0<ω≤
4
8k＋2，因为k∈Z且要求ω的最大值，则k＝0，故ω的最大值为2.]
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图8－5所示，则f(x)的单调递减区间为
5
________．
图8－5
?2k－1，2k＋3?，k∈Z [由图象知，周期T＝2?5－1?＝2， ??44?44?????
∴
2π
＝2，∴ω＝π.
ω1ππ
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
424π??∴f(x)＝cos?πx＋?.
4??
π13
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－ 44413??∴f(x)的单调递减区间为?2k－，2k＋?，k∈Z.] 44?? 题型三| 三角函数的性质及应用 π?π? (1)若函数f(x)＝sin(x＋θ)?0<θ 2?6? ________. π??(2)已知函数f(x)＝2sin?2ωx－?(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x) 4??在[－1,1]上的单调增区间为________． ππ?13?(1) (2)?－，? [(1)因为三角函数的对称轴经过最值点，所以当x＝时，f(x) 36?44?＝sin(x＋θ)取最值，即sin?π 以θ＝. 3 π?πππ?(2)由题意可知，函数f(x)＝2sin?πx－?，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，解4?242? 6 ?π＋θ?＝±1?π＋θ＝π＋kπ，(k∈Z)，又0<θ<π，所?622?6? 1313 得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1,1] 4444 ?13?上的单调递增区间为?－，?.] ?44? 【名师点评】 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路： 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． π?π?1．(2016·南通二调)设函数y＝sin?ωx＋?(0＜x＜π)，当且仅当x＝时，y取得3?12?最大值，则正数ω的值为________． π 2 [由0＜x＜π，当且仅当x＝时，y取得最大值，故 122π??ω≥π，?πωππ??12＋3＝2＋2kπ，k∈Z， ∴ω＝2.] 2．若x是一个三角形的最小内角，则函数y＝sin x－cos x的值域是________． 3－1?? ?－1，? [因为x是一个三角形的最小内角，所以 2?? π??ππππ3－1??x－0 3．直线y＝3与y＝2sin ωx(ω＞0)相距最近的两个交点的距离为，则y＝2sin ωx6的最小正周期为________． π [由2sin ωx＝3得sin ωx＝ 3π2π，∴ωx＝或. 233 ??ω≤2，即? ?ω＝2＋24k，k∈Z.? 2ππ －3π32π ∴＝，∴ω＝2，∴T＝＝π.] 6ω2 7
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