第1章 行列式（小结）

由此递推得：

Dn?an?xDn?1?an?x?an?1?xDn?2??an?xan?1?x2Dn?2 ???an?an?1x?an?2x2???xn?1D1 ?an?an?1x?an?2x2???a2xn?2?a1xn?1。

x0例3：计算行列式Dn??0an?1x?0an?10?1?0?000?。 ?1a1?x?0???xan?2?a2解：用数学归纳法，当n?2时，

D2?xa2?1x?a1?x2?a1x?a2，

从规律上猜想并假设n?k时，有

Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2???ak?1x?ak，

则当n?k?1时，把Dn?1按第一列展开，有

Dk?1?xDk?ak?1?xxk?a1xk?1?a2xk?2???ak?1x?ak?ak?1

?xk?1?a1xk???akx?ak?1。

题型5 利用展开定理求代数余子式 解题思路

??a11a21设D??an1a12a22??a1n?a2n，则有

??an2?annD?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin （i?1，2，?，n）

或 D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj （j?1，2，?，n）

其中Aij为aij的代数余子式。反之，若要求某行（列）对应元素代数余子式的线性组合，可利用展开定理将其转化为一个n阶行列式来计算，即

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a11?ai?1,1k1Ai1?k2Ai2???knAin?k1ai?1,1?an1a1例1：设4阶行列式D?a12?k2?an2?????a1n?kn。 ?annai?1,2?ai?1,nai?1,2?ai?1,na2b2c2d2a3b3c3d3ffff，

b1c1d1求第一列各元素的代数余子式之和A11?A21?A31?A41。

解：⑴ 当f?0时，根据代数余子式的定义，显然Ai1?0（i?1，2，3，4），

所以A11?A21?A31?A41?0。 ⑵ 当f?0时，由行列式的展开定理可得：

fA11?fA21?fA31?fA41?0?f?A11?A21?A31?A41??0

?A11?A21?A31?A41?0。

42例2：已知行列式D?234322153116?40，试求A31?A32与A33?A34。 34解：由行列式展开定理，有：??2?A31?A32??3?A33?A34??40，

?4?A31?A32???A33?A34??0解方程组，得：??A31?A32??4。

?A33?A34?16304222例3：设行列式D?0?7053?202，求第4行的余子式之和M41?M42?M43?M44。 02解：直接求出每个余子式的值再求和的计算过程较复杂，将所求变为代数余子式的代数和，利用代数余子式的性质改变aij后Aij的值不变，构造一个新的行列式D?，使D与D?的A4j（j?1，2，3，

4）一样，使所求为新行列式D?按第4行的展开式。

由于 M41?M42?M43?M44??A41?A42?A43?A44，

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构造行列式

304222D??0?70?11?100312040?00?701?11?133134?(?1)(?1)4?1404??28， 0?7001将D?按第4行展开，有：D???A41?A42?A43?A44??28， 所以M41?M42?M43?M44??28。

2143?42例4：设行列式D?12?350611，求4A12?2A22?3A32?6A42。 22解一：因4，2，?3，6恰好为D中第三列元素，而A12，A22，A32，A42为D中第二列元素的代数余子式，故4A12?2A22?3A32?6A42表示D中第三列元素与第二列的对应元素的代数余子式乘积的和，由行列式按列展开定理，有：

4A12?2A22?3A32?6A42?0。

解二：因Ai2（i?1，2，3，4）为D中元素ai2（i?1，2，3，4）的代数余子式，故将D中第二列元素依次换为4，2，?3，6，即得：

2443224A12?2A22?3A32?6A42?1?3?3566

题型6 利用范德蒙行列式计算行列式 解题思路

11?0。 22若一行列式可转化为具有如下特征的行列式：其各行（列）都以第一行（列）的升幂从上到下（从左到右）由0到n?1排列，则可利用范德蒙行列式的结论来计算所给行列式（见例1）。

利用范德蒙行列式的结论来计算或证明所给问题，其难点在于要根据所给行列式的特点，充分利用行列式的性质和按行（列）展开定理将其转化为范德蒙行列式的形式（见例2），有时候需要通过构造辅助行列式来达到这一目的（见例3）。

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例1：计算n?1阶行列式

a1nna2?nan?1a1n?1b1n?1a2b2??a1b1n?1n?1a2b2b1nnb2???n?1n?1nanb?abb?1n?1n?1n?1n?1，其中ai?0（i?1，2，?，n?1）

解：每行元素ai的幂次由n次递减为0次，bi为升幂由0次升至n次幂，引入新变量bi/ai化为范德蒙行列式。

每行提出ain（i?1，2，?，n?1），有

1b1/a11b2/a2nnD?a1na2?an?1??1bn?1/an?1nn?a1na2?an?1?b1/a1?2?b2/a2?2??bn?1/an?1?2?????b1/a1?n?b2/a2?n??bn?1/an?1?n

?bibj???????ajbi?aibj?。 ??aj?1?j?i?n?1?ai?1?j?i?n?1例2：设a?b?c?0，试用范德蒙行列式证明：

aa2D?bb2cc2bcac?0。 ab证：先利用行列式性质将第3列进行变换，再用范德蒙行列式证明，将D的第1列乘以a?b?c加到第3列，得：

aa2D?bb2cc2c3?c22b?ab?bc?ca????????bb2c2?ab?bc?cacc2a2?ab?bc?caaa2ab?bc?caab?bc?ca

ab?bc?caaa21c?c1aa23222????ab?bc?ca?bb1????????ab?bc?ca1bb c2?c1cc211cc2??ab?bc?ca??b?a??c?a??c?b?。

1例3：证明：x1212x23x2x132x3??x1x2?x2x3?x3x1???xi?xj?。

3?i?j?13x31分析：本题可根据所给行列式的特点，通过构造辅助行列式来达到这一目的。 证：该行列式与范德蒙行列式很接近，仅缺少一次项，可通过构造辅助行列式来证明。

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