专题16 圆锥曲线的综合应用
圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．
高频考点一 圆锥曲线中的最值、范围
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
x2y23【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，F是椭圆E的右焦点，直23线AF的斜率为3，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
x2y2
【变式探究】在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左右焦点分别为F1，F2，R为B两点，P为椭圆C上异于A，短轴的一个端点，且△RF1F2的面积为3.设过原点的直线l与椭圆C交于A，3
B的一点，且直线PA，PB的斜率都存在，kPA·kPB＝－4.
(1)求a，b的值；
1
(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点，M、N为曲线C上不同于Q的两点，且QF1⊥x轴，且∠MQF1
＝∠NQF1，设直线MN与y轴交于点D(0，d)，求d的取值范围．
高频考点二 定点、定值问题探究
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
x22y23
例、已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
【方法规律】
1．求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．
2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．
x2y2Eb2【变式探究】如图，椭圆：a2＋b2＝1(a＞＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
2
x2y2422【变式探究】已知焦距为22的椭圆C：直线y＝3与椭圆C交于P，a＋b＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.
若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
【方法规律】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
→→→
【变式探究】已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点P在x轴上的投影是Q，且2PA·PB＝|PQ|2. (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点．求证：直线E1E2恒过定点．
高频考点三 圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．
(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．
x2y22??22例3、 已知椭圆C：a＋b＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A?1，2?在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
5
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝3上找到→→
一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【方法规律】
1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否
3
成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
x2y21?3?22【变式探究】已知椭圆C：a＋b＝1(a＞b＞0)的离心率为2，且过点P?1，2?，F为其右焦点． (1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使△AMF与△MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x2y2
【变式探究】已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，且点F1到椭圆C上任1
意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
|CD|
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，D，与椭圆相交于C、且|AB|83＝7？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
1x21．（2019·全国高考）已知曲线C:y?,D，为直线y??上的动点，过D作C的两条切线，
22切点分别为A,B.
（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E?0,??5??为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 2?22．（2018·北京高考）已知抛物线C：y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物
线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
uuuuruuuruuuruuur11（Ⅰ）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：?为定值．
?? 4
x2y253．(2018·天津卷)设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝62.
(1)求椭圆的方程；
|AQ|52
(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若|PQ|＝4sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．
1??
4．(2018·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点?3，2?，焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
26②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为7，求直线l的方程．
x2
5．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：2＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
6．(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
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