圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)

热点一 最值问题

求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键

(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；

(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.

x2y2

例1 (2019·邯郸模拟)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为E

abx2y2

上的一个动点，且|PF2|的最大值为2＋3，E的离心率与椭圆Ω：＋＝1的离心率相等.

28(1)求E的方程；

(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.

??a＋c＝2＋3，

解 (1)依题意可知?c 2

??a＝1－8，?a＝2，

解得?

?c＝3，

则

b2＝a2－c2＝1，故

x22

E的方程为＋y＝1.

4

(2)延长MF1交E于点M′，

由(1)可知F1(－3，0)，F2(3，0)， 设M(x1，y1)，M′(x2，y2)， 设MF1的方程为x＝my－3，

??x＝my－3，由?x2得(m2＋4)y2－23my－1＝0，

2

??4＋y＝1

23my＋y＝，?m＋4?故?1

yy＝－.?m＋4?

1

2

2

12

2

设F1M与F2N的距离为d， 四边形F1F2NM的面积为S，

11

则S＝(|F1M|＋|F2N|)d＝(|F1M′|＋|F1M|)d

221

＝|MM′|d＝S△MF2M′， 21

而S△MF2M′＝|F1F2||y1－y2|

2＝3

y1＋y2

2－4y

1y2

43m2＋1＝＝

m2＋4

43m2＋1＋

3m2＋1

43≤＝2， 23

当且仅当m2＋1＝

3

， m2＋1

即m＝±2时，等号成立，

故四边形F1F2NM面积的最大值为2.

1x22

1，?，B(1,2). 跟踪演练1 (2019·焦作模拟)已知椭圆C：＋y＝1，点A??2?2

(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率； (2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值. 解 (1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， x2x2122

故＋y1＝1，＋y22＝1. 22

2x2x12??2

将两式相减，可得＋y1－?2＋y22＝0， ?2

即

x1＋x2

2

x1－x2

＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

因为A为线段MN的中点， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1. 得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0， 即

y1－y2

＝－1，故直线MN的斜率kMN＝－1. x1－x2

y＝2x＋t，??

(2)联立?x22

＋y＝1??2可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0， 由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0， 解得0

设P(x3，y3)，Q(x4，y4)

?

由根与系数的关系可得?2t－2

xx＝.?9

2

34

8tx3＋x4＝－，

9

∴|PQ|＝1＋22＝5×

x3＋x4

2

－4x3x4

2

?－8t?2－42t－2＝210×9－t2. ?9?99

又∵点B到直线l2的距离d＝

|2－2＋t||t|

＝， 55

|t|11210

∴S△BPQ＝×|PQ|×d＝××9－t2×，

2295∵9－t2>0， ∴S△BPQ＝

22×9－t2×|t|＝×99

9－t2

×t2

9－t2＋t222

≤×＝， 922

932

当且仅当t2＝，即t＝±时取等号.

22故△BPQ的面积的最大值为热点二 范围问题

圆锥曲线的范围问题的常见解法

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.

x2y2

例2 (2019·江西九校联考)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F(1,0)，A，B，C是椭圆

ab1

上任意三点，A，B关于原点对称且满足kAC·kBC＝－. 2(1)求椭圆E的方程；

43

(2)若斜率为k的直线与圆：x2＋y2＝1相切，与椭圆E相交于不同的两点P，Q，求|PQ|≥

5时，k的取值范围.

解 (1)由题可设A(xA，yA)，B(－xA，－yA)，C(xC，yC)，

2. 2

?所以?xy

?a＋b＝1，

2C2

2C2

x2y2AA

＋2＝1，2

ab

两式相减得＝0，

xA－xC

a2

xA＋xC

＋

yA－yC

b2

yA＋yC

yA－yCyA＋yCb2?·＝－2.

axA－xCxA＋xC即kAC·kBC＝

yA－yCyA＋yC

·

xA－xCxA＋xC

b21

＝－2＝－，

a2所以a2＝2b2，

又c＝1，a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1， x22

所以椭圆E的标准方程为＋y＝1.

2(2)设直线方程为y＝kx＋m， 交椭圆于点P(x1，y1)，Q(x2，y2). y＝kx＋m，??

联立方程?x22

＋y＝1，??2

得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， Δ＝8(2k2＋1－m2)>0，得2k2＋1>m2， 2m2－24km

x1＋x2＝－，x1x2＝.

1＋2k21＋2k2所以|PQ|＝1＋k2＝＝＝

1＋k21＋k21＋k2

2

x1＋x22－4x1x2

?－4km?2－8m2－8 ?1＋2k2?1＋2k2??

16k2m21＋2k216k2m21＋2k2

8m2－81＋2k2

2－1＋2k22

8m2＋16m2k2－8－16k2

2－1＋2k22

＝1＋k

－8m2＋8＋16k2

，

1＋2k22

因为直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切， 所以d＝

|m|

＝1?1＋k2＝|m|， 2

1＋k

即m2＝1＋k2，代入2k2＋1>m2，得k≠0. 所以|PQ|＝

1＋k2

－81＋k2＋8＋16k2

1＋2k22

＝1＋k

2

8k21＋2k2

2＝2

2

k4＋k21＋2k2

2，

43

因为|PQ|≥，

5所以22

k4＋k21＋2k2

2≥

43

， 5

化简得k4＋k2－6≥0， 即(k2＋3)(k2－2)≥0， 解得k2≥2或k2≤－3(舍). 所以k≥2或k≤－2，

故k的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞).

跟踪演练2 (2019·合肥质检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围.

解 (1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10. pp

∵抛物线的准线为y＝－，∴9＋＝10，

22解得p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.

(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k， 因为F(0,1)，则l：y＝kx＋1.

??y＝kx＋1，x1?x2???设A?x1，4?，B?x2，4?，由?2消去y，得

?x＝4y?

2

2

x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

11

由于抛物线C也是函数y＝x2的图象，且y′＝x，

42

2

x11

则PA：y－＝x1(x－x1).

42

1

令y＝0，解得x＝x1，

211x1，0?，从而|AP|＝x2∴P??2?41同理可得，|BQ|＝∴|AP|·|BQ|＝

1

16

12

x4＋x2242x1x2

2

4＋x21，

.

4＋x212) 4＋x2