精品文档 用心整理
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
等腰三角形（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；
2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．
3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
1.等腰三角形
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；
2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧
相交于点A;
3.连接AB,AC.
△ABC为所求作的等腰三角形
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形； (2)∠B＝∠C；
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝
180???A . 2（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三
线合一”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距
离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点四、反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关角度的计算题
1、（2016春?太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
【思路点拨】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．
【答案与解析】 解：∵AB=BD，
∴∠BDA=∠A， ∵BD=DC， ∴∠C=∠CBD， 设∠C=∠CBD=x， 则∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
解得：x=25°，所以2x=50°， 即∠A=50°，∠C=25°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
举一反三：
【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
求∠B的度数．
【答案】
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y， 则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x 在△ABC中，根据三角形内角和得，
x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°② 由① ，②解得x＝36°
∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°. 类型二、等腰三角形中的分类讨论
2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案． 【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°， 又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数?1?140??70?； 2(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°， 则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°． ∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边． 【答案与解析】
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长?1?10?5． 2 这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去． ∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案． 举一反三：
【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A；
解 ：∵ |AC－BC|＝2cm，∴ AC－BC＝±2． 又BC＝8．
∴ AC＝10或6．
∴ AB＝10（cm）或（6cm）． 类型三、等腰三角形的性质及其运用 4、如图，在△ABC中，边AB＞AC． 求证：∠ACB＞∠ABC
【思路点拨】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形的性质推出∠AEC=∠ACE，根据三角形的外角性质求出∠AEC＞∠ABC即可． 【答案与解析】
证明：证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE， ∵∠AEC＞∠B， ∴∠ACB＞∠ABC．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出∠AEC=∠ACE
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
和∠AEC＞∠ABC是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD． 求证：DB=DE．
【答案与解析】
证明：如图，在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠2=60°， ∵BD是中线，
∴BD是∠ABC的平分线， ∴∠1=30°， ∵CE=CD， ∴∠E=∠3， ∴∠E=∠2=30°， ∴∠E=∠1， ∴DB=DE．
类型四、等腰三角形的判定
5、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由； （2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么
结论呢？
【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形； （2）由等腰三角形两腰相等求解；
（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度． 【答案与解析】 解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠CBO， ∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形， 同理△EOC是等腰三角形； （2）∵BD=4、CE=3，
∴由（1）得出DO=4，EO=3， ∴DE=DO+OE=4+3=7；
（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，
∴△ADE的周长=AB+AC， ∵AB=12、AC=9，
∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形， ∴BD=DO，CE=OE， ∵BC=16，
∴△ODE的周长为16．
即△ODE的周长等于BC的长度．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等． 举一反三
【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC． 上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵
，
∴△EBO≌△DCO（AAS）， ∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
类型五、 含有30°角的直角三角形
6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.
【答案与解析】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°
∴在Rt△ACD中，AD=又∵∠ACB=90°， 在Rt△ACB中， ∴∠B=30°，
1AC， 211AB ∴AD= AB， 241则AD=BD，即BD=3AD.
3∴AC=
【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 举一反三：
【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°， 又∵∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴BC=2CD=2×4=8cm． 类型六、反证法
7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 【答案】已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 举一反三：
【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ） A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2
2
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1. （2016?曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ） A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A. 假设CD∥EF ; B. 假设AB∥EF
C. 假设CD和EF不平行
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
D. 假设AB和EF不平行
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一
条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 已知实数x，y满足|x?4|+(y?8)＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 5. 如图，D是AB边上的中点，将?ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若
2
?B?50?，则?BDF度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6.（2015?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二.填空题
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
8.（2015?嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是 ． 9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________. 10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 _________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那
么AD的长为 .
三.解答题
13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
14.（2016春?安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．
15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：∵外角等于100°，
∴这个内角为80°，
当这个80°角为顶角时，则底角为数分别为50°，50°；
当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°； 故选D．
2. 【答案】C；
【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．
=50°，此时另两个内角的度
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
3. 【答案】B； 4. 【答案】B；
【解析】根据题意得
?x?4＝0, ??y?8＝0解得
?x?4. ??y?8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4+8+8=20． 故选B．
5. 【答案】C；
【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，?BDF＝180°－50°－50°＝80°. 6. 【答案】D；
【解析】解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外）， ∴以OA为腰的等腰三角形有3个； 作OA的垂直平分线，交x轴于一点， ∴以OA为底的等腰三角形有1个， 综上所述，符合条件的点P共有4个， 故选：D．
二.填空题
7. 【答案】20；
【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°. 8. 【答案】12；
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，
∵2+2=4＜5，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴不能组成三角形，
②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5， 能组成三角形， 周长=2+5+5=12，
综上所述，它的周长是12． 故答案为：12．
9. 【答案】两直线平行；
【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案. 10.【答案】70°或40°； 【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°． 故答案为：70°或40°.
11.【答案】②③④； 【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高； 则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC， ∴DE=DF，又AD⊥BC； ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E=∠F； ∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形； ④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得： AB﹣BD=AC﹣CD， 即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）； ∵AB﹣BD=AC﹣CD， ∴AB+BD=AC+CD； ∴两式相加得， 2AB=2AC； ∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形 故填②③④． 12.【答案】8；
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
2
2
2
2
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴BD=DC．
∵AB+AC+BC=32， 即AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16 ∴AC+DC+AD=24 ∴AD=8． 故填8．
三.解答题 13.【解析】
证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H， ∵AB＝AC，AE＝AD．
∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，
180??2x?90??x 2 即∠BDH＝90°－x
∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，
∴∠ADE＝
∴∠BHD＝90°，ED⊥BC. 14.【解析】
解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
则有或，
解得：或，
此时两种情况都符合三角形三边关系定理，
答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．
15.【解析】
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾； 所以假设错误，原命题正确； 即等腰三角形的底角是锐角．
北师大版八年级下册数学
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
直角三角形----知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建
立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：a?c?b，b?c?a， c??a?b??2ab.
22222222（4）勾股数：满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达
哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……
②如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
222，2n，n?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； ③n?1④2n?2n,2n?1,2n?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤m?n,m?n,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
22222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中
，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
要点三、勾股定理的逆定理
，所以.
如果三角形的三条边长a，b，c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直
角三角形.
要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如c）.
（2） 验证c与a?b是否具有相等关系.若c?a?b，则△ABC是∠C＝90°的
直角三角形；若c?a?b，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：
当a?b?c时，此三角形为钝角三角形；当a?b?c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理
如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆
222222222222222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：
原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角
形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三
角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，
书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】 类型一、勾股定理
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a．
【思路点拨】利用勾股定理a?b?c来求未知边长． 【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，
所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24，
所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 举一反三：
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）已知b＝2，c＝3，求a；
（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴a?c2?b2?32?22?5； （2）设a?3k，c?5k．
2222222222222222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∵∠C＝90°，b＝32， ∴a?b?c． 即(3k)?32?(5k)．
解得k＝8．
∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．
2、一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
222222
【答案与解析】
解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm，所以底面直径DC长为16cm．
则在Rt△BCD中，BD2?DC2?BC2， 所以BD?DC2?BC2?162?122?20(cm)．
答：筷子最长不超过20cm，可正好盖上盒盖． 【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长． 举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，
∴ AB?BC?AC?5?12?169． ∴ AB?169?13(m)． ∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)． ∴ 旗杆折断前的高度为18m．
类型二、勾股定理的逆定理
22222资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
3、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． （1）a＝7，b＝24，c＝25； （2）a＝
43，b＝1，c＝； 342222（3）a?m?n，b?m?n，c?2mn(m?n?0)；
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的
两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵ a?b?7?24?625，c?25?625，
∴ a?b?c．
∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
222222222925?3??4?16 （2）∵ a?b?c，b2?c2?12????1?，a2????， ?4161639????∴ b?c?a．
∴ 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵ m?n?0，
∴ m?n?2mn，m?n?m?n．
∵a?c?(m?n)?(2mn)?m?2mn?n?4mn?m?2mn?n，
222222422422422422222222222b2?(m2?n2)2?m4?2m2n2?n4，
∴ a?c?b．
∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证c与a?b是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小． 举一反三：
【变式1】判断以线段a，b，c为边的△ABC是不是直角三角形，其中a?2222227，b?3，c?2．
【答案】
解：由于a?c?b，因此a为最大边，只需看a是否等于b?c即可．
222资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
222222222∵a?(7)?7，b?(3)?3，c?2?4，∴a?b?c，
∴以线段a，b，c为边能构成以a为斜边的直角三角形．
【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A．20:15:12 B．3:4:5 C．5:4:3 D．10:8:2 【答案】A.
提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：
12，即20:15:12. 5+（c﹣4
）=0．
2
4、（2016春?临清市期末）已知a、b、c满足|a﹣（1）求a、b、c的值；
|+
（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果； （2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可． 【答案与解析】
解：（1）∵a、b、c满足|a﹣
∴|a﹣解得：a=（2）∵a=
∴a+b=
|=0，
|+
+（c﹣4）=0．
2
）=0．
2
=0，（c﹣4
；
，b=5，c=4
，b=5，c=4+5＞4
，
，
∴以a、b、c为边能构成三角形， ∵a+b=（
2
2
）+5=32=（4
22
）=c，
22
∴此三角形是直角三角形， ∴S△=
=
．
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 类型三、勾股定理、逆定理的实际应用
5、（2015春?遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【答案与解析】
解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v=
=20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 类型四、原命题与逆命题
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．
2．原命题：对顶角相等.
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等． 【答案与解析】
1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．?（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）
【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误. 举一反三：
【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号） ．①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
④如果三角形的三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】①④
提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c满足a2?b2?c2”也是正确的. 【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题： （1）写出逆命题；
（2）判断逆命题是真命题还是假命题；
（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证． 【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行； （2）是真命题；
（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，
求证：AB∥CD．
类型五、直角三角形全等的判定——“HL”
7、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝CD：
（2）AD∥BC．
【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】
证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90° 在Rt△ABD 和Rt△CDB中， ??AD＝BC
?BD?DB ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL） ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB＝∠CBD
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴AD∥BC .
【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. 举一反三：
【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．
【答案】
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB， ∴∠DAE＝∠CBA＝90° 在Rt△DAE 与Rt△CBA中， ??ED＝AC
?AE＝AB， ∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL） ∴∠E＝∠CAB
∵∠CAB＋∠EAF＝90°，
∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90° 即ED⊥AC．
8、如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．
【答案与解析】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∴在Rt△DBE和Rt△DCF中
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴EB=FC．
【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
直角三角形-----巩固练习（基础）
【巩固练习】 一.选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
A.150cm2
B.200cm C.225cm
22D.无法计算
2.（2016春?庆云县期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A．a=1.5，b=2，c=3
B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
3．三角形的三边长分别为 a?b、2ab、a?b（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B． 钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4．（2015?岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
2222
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
5．（2015春?天河区期末）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是
二.填空题 7．（2015春?东台市期末）命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是 ． 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，
点B恰好与AC上的点B'重合，则AC＝ cm.
9. 已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为 cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．
10. 如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
11. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.
12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
三.解答题
13. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的
长．
14.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．
15.（2016春?和县校级月考）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
16. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.
求证：∠1＝∠2.
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C；
【解析】面积和等于AC?BC?AB?225.
222资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
2.【答案】A；
【解析】解：A、∵1.5+2≠3，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵7+24=25，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意； C、∵6+8=10，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵3+4=5，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：A．
3.【答案】A；
【解析】(a?b)??2ab??(a?b)，满足勾股定理的逆定理.
22222222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
4. 【答案】B；
【解析】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC=故小鸟至少飞行10m． 故选：B．
=10（m），
5. 【答案】C；
【解析】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误； C、同位角相等，两条直线平行，正确； D、相等的两个角都是45°，错误． 故选C．
6.【答案】C；
【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.
二.填空题
7.【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角； 8.【答案】4；
【解析】?AB?E??ABE?90?，又因为AE＝CE，所以BE?为△AEC的垂直平分线，AC＝2AB＝4cm. 9.【答案】61或3 479；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【解析】60cm长的边可能是斜边，也可能是直角边. 10.【答案】6；
【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△． 11.【答案】6；
【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6； 12.【答案】45°；
【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.
三.解答题 13.【解析】
解：过D点作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3，
易证△ACD≌△AED， ∴AE＝AC，
在Rt△ DBE中，∵BD＝5 ，DE＝3，∴BE＝4 在Rt△ACB中，∠C＝90° 设AE＝AC＝x，则AB＝4?x
∵AB?AC?BC ∴?4?x??x?8
222222解得x?6，∴AC＝6.
14．【解析】
解：设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．
在Rt△ABE中，AB＋AE＝BE， ∴3??9?x??x．解得x?5．
22222215．【解析】
解：BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP中，BM+BP=256+900=1156，PM=1156， BM+BP=PM， ∴∠MBP=90°，
180°﹣90°﹣60°=30°， 故乙船沿南偏东30°方向航行．
2
2
2
2
2
2
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
16.【解析】
证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，
∴△AEC、△AFB为直角三角形 在Rt△AEC与Rt△AFB中 ??AB＝AC
AE＝AF? ∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）
∴∠EAC＝∠FAB
∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
线段的垂直平分线----知识讲解(基础)
【学习目标】
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】
要点一、线段的垂直平分线 1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于
1AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 2 （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点诠释：
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
(1)作弧时的半径必须大于
1AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． 2(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:
1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 【典型例题】
类型一、线段的垂直平分线定理
1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则
△BCD的周长是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答． 【答案】A；
【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长． 举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于
E，下述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
【答案】D；
提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．
【变式2】（2015秋?江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．
【答案】
解：∵DE为AB的中垂线，
∴AE=BE，
∵FG是AC的中垂线， ∴AG=GC，
△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，
所以△AEG的周长为BC的长度即7．
类型二、线段的垂直平分线的逆定理
2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
ABDC
【答案与解析】
证明：∵ AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)
又∵∠ABD=∠ACD (已知)
∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质) 即 ∠DBC=∠DCB
∴DB=DC （等角对等边） ∵AB=AC（已知）
DB=DC（已证）
∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在
这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线。 【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线． 举一反三：
【变式】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．
【答案】
证明：∵OP是角平分线，
∴∠AOP=∠BOP ∵PA⊥OM,PB⊥ON, ∴∠OAP=∠OBP=90° ∴在△AOP 和△BOP中
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
??AOP??BOP???OAP??OBP ?OP=OP?∴△AOP≌△BOP（AAS） ∴OA=OB
∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点． 求证：BE=CE．
【答案与解析】 证明：连结BC
∵AB＝AC，DB＝DC．
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线， ∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
AEBDC
【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．
4、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【思路点拨】先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=CD，然后又因为D为BC中点，根据中点定义得到CD=BD，等量代换得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可． 【答案与解析】 证明：连接DF， ∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠BCE=∠CAE． ∵AC⊥BC，BF∥AC． ∴BF⊥BC． ∴∠ACD=∠CBF=90°， ∵AC=CB， ∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF． ∵CD=BD=1BC，∴BF=BD． 2∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠ABC=45°． ∵∠FBD=90°， ∴∠ABF=45°． ∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线， 即AB垂直平分DF． 【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.
【答案】
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
如图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线， ∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°， ∴∠MAC=90°， ∴CM=2AM， ∴CM=2BM．
类型四、尺规作图
5、（2016秋?西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【思路点拨】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置． 【答案与解析】
解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
【总结升华】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．
北师大版八年级下册数学
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
线段的垂直平分线——巩固练习（基础）
【巩固练习】
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2016春?宿州校级期末）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（ ）
A．14cm B．13cm C．11cm
D．9cm
3．（2015?达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
4．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（ ） A．AE=BE B．CE=
11AB C．∠CEB=2∠A D．AC=AB 22
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A、80° B、70° C、60° D、50°
6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）． A．25° B．27° C．30° D．45°
二．填空题 7．（2015?徐州校级模拟）如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC的垂直平分线分别角AB、BC于D、E，则△ACD的周长为 cm．
8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．
9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm， AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是___________cm．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E． 若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．
12．（2016秋?乌拉特前旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是 ．
三．解答题： 13．（2015秋?武昌区期中）如图，在△ABC中，△ABC的周长为38cm，∠BAC=140°，AB+AC= 22cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G，求： （1）∠EAF的度数； （2）求△AEF的周长．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交
BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属
A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】B； 【解析】∵∠B=90°，∠BAE=10°∴∠AEB=80°,由垂直平分线的性质，AE=CE，∠EAC=∠C,
∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=40°
2．【答案】B； 【解析】解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm． 故选B.
3．【答案】A；
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°， 故选：A．
4．【答案】D；
【解析】∵CE=EB，∴∠B=∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°． ∴∠A=∠ACE． ∴AE=CE=EB．
故选项A、B都正确； ∵∠ACB=90°，ED⊥CB，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴AC∥ED．
则∠A=∠DEB，∠CED=∠ACE． 又∠A=∠ACE， ∴∠CEB=2∠A． 故选项C正确；
当∠B=30°或∠A=60°时，选项D才成立． 故选D．
5．【答案】C；
【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等． 6．【答案】B ；
【解析】AC，BD互为对方的中垂线，∠ABD＝∠CBD＝∠E＝54°÷2＝27°． 二．填空题 7．【答案】10；
【解析】解：∵DE为BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， 而AC=4cm，AB=6cm，
∴△ACD的周长为4+6=10cm． 故答案为：10．
8.【答案】70, 8；
【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，
∠BPC＝70°．ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8cm．
9．【答案】6；
【解析】∵ED+DC+EC=24，①（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=12即
BE+BD-DE=12．②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．
10．【答案】6；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半．AD＝DB＝4，AC＝4＋2＝6． 11．【答案】18°；
【解析】∠A＝∠ABD＝x，∠CBD＝3x，5x＝90°，x＝18°． 12．【答案】（1）（2）（3）； 【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°， ∴∠DBC=72°﹣36°=36°， ∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴BD=BC；
（1）BD平分∠ABC正确； （2）AD=BD=CD正确； （3）△BDC的周长=BC+CD+BD
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
=BC+CD+AD =BC+AC =AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误． 故正确的命题是（1）（2）（3）．
三．解答题 13．【解析】 解：（1）∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EBA=∠EAB，∠FAC=∠FCA．
设∠EBA=∠EAB=α，∠FAC=∠FCA=β， ∵∠BAC=140°， ∴α+β=40°，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°；
（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=38﹣22=16cm． 14．【解析】 证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE=EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中，
??ADC??ECF,? ?DE?EC,??AED??FEC,?∴△ADE≌△FCE（A．S．A）， ∴FC=AD（全等三角形的性质）． （2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE⊥AE且Ｆ是BC与AE延长线的交点 ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
15．【解析】
解：已知、B村、C村，
求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
角的平分线的性质（基础）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法． 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
要点二、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于
1DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 2 （3）画射线OC.
射线OC即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为P1，旁心为P2,P3,P4，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
1．（2015春?启东市校级月考）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【答案与解析】
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．
2、（2016春?潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．
【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．
【答案与解析】
解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB， ∴CD=DE，
∴△CAD≌△EAD(HL) ∴AC=AE， ∵AC=BC， ∴∠B=45°， ∴BE=DE，
∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm． 【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
举一反三：
【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB:AC?3:2，则△ABD与△ACD
的面积之比为（ ）
A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3
【答案】B；
提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵
AB:AC?3:2，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．
3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点
E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论. 【答案与解析】
解：DF＝EF．
理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E， ∴PD＝PE，
由HL定理易证△OPD≌△OPE，
∴∠OPD＝∠OPE，∴∠DPF＝∠EPF． 在△DPF与△EPF中，
?PD?PE???DPF??EPF， ?PF?PF?∴△DPF≌△EPF， ∴DF＝EF.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键. 类型二、角的平分线的判定
4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.
【答案与解析】
证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知） ∴∠CDF＝∠BEF＝90°
∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等) ∵ BF＝CF(已知) ∴△DFC≌△EFB(AAS)
∴DF＝EF(全等三角形对应边相等) ∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）
∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF为∠BAC的平分线
【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性. 举一反三：
【变式】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．
【答案】
证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）， ∴PD=PE，
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1. AD是△ABC的角平分线, 自D点向AB、AC两边作垂线, 垂足为E、F, 那么下列结论中错误的是( ) A.DE ＝ DF
B. AE ＝ AF C.BD ＝ CD D. ∠ADE ＝ ∠ADF
2．（2015?高新区校级模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（ ）
A．8 B．12 C．4 D．6 3．（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60 4. 到三角形三边距离相等的点是（ ）
A.三角形三条高线的交点 B.三角形三条中线的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点 5. 如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（ ） A．△PBA≌△PDC B. △AOD≌△COB
C. AB⊥PD，DC⊥PB D.点O到∠APB两边的距离相等.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
6. 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5cm，则直线AB与CD的距离为（ ）
A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm
二.填空题 7．（2016?西宁）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6cm，那么线段BE是△ABC的 ，AE＋DE＝ 。
9. 已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．
10.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有 处.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
11．（2015春?晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC= （度）．
12.已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法
（1）AD＝CD (2)D到AB、BC的距离相等 （3）D到△ABC的三边的距离相等 （4）点D在∠B的平分线上 其中正确的说法的序号是_____________________.
三.解答题
13．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
14．如图，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积
比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．
15. 已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
求证：一点F必在∠DAE的平分线上．
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 2.【答案】D；
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为S， 同理Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF=S△ADH， 即38+S=50﹣S， 解得S=6． 故选D．
3.【答案】B；
【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．
4.【答案】D；
【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等. 5.【答案】C ；
【解析】C项中，仅表示了到两边的距离，没说明相等.
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
6.【答案】B；
【解析】由题意知点O到AC、AB、CD的距离相等，都等于5cm，所以两平行线间的距离
为5＋5＝10cm.
二.填空题
7. 【答案】2；
【解析】作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵∠BOP=∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°， ∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2
∴PD=PE=2.
8. 【答案】角平分线，6cm；
【解析】AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝6cm. 9. 【答案】OP＝OM＝ON
【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等. 10.【答案】4；
【解析】内角平分线交点一个，外角平分线交点三个. 11.【答案】100；
【解析】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠DBC， ∵∠DBC=50°， ∴∠ABC=100°， 故答案为：100．
12．【答案】(2)(3)(4). 三.解答题 13.【解析】
（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC， ∴ME=MC，
∵M为BC中点， ∴MB=MC， 又∵ME=MC， ∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM平分∠DAB． （2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°， ∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°， 即DM⊥AM． （3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD， ∴∠C=∠DEM=90°， 在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL）， ∴CD=DE， 同理AE=AB， ∵AE+DE=AD， ∴CD+AB=AD．
14.【解析】
解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E
∴DE＝CD
可证Rt△BCD≌Rt△BED（HL）
设△BCD的面积＝△BED的面积＝3x，△BCA的面积为8x， △ADE的面积为8x－6x＝2x，
∴△ADE与△BCA的面积之比为2x：8x＝1:4．
15.【解析】
证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC
∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F. ∴FM ＝FP， FN＝FP（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴FM ＝ FN
∴点F必在∠DAE的平分线上.（到角两边的距离相等的点在角的平分线上）
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.
2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题. 3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、等腰三角形
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
1.三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：
等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是
332a，面积是a；含有2430°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时
也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的； 3.直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）. 要点诠释：
①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于
1AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；2作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 要点诠释：
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释：
①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】
类型一、 三角形的证明
1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE． 求证：△ABC是等腰三角形．
【思路点拨】欲证△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE，可利用三角形中两内角相等来证明． 【答案与解析】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形， 在Rt△BDF和Rt△CDE中，
?BF?CE, ??BD?CD∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键． 举一反三：
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN的周长为18，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N．求AB+AC的值．
【答案】解：∵MN∥BC，
∴∠BOM=∠OBC，∠CON=∠OCB， ∵∠B，∠C的平分线相交于点O， ∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB， ∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON， ∴BM=OM，CN=ON， ∵△AMN的周长为18，
∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．
【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴ BD=CE．
类型二、直角三角形
2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
（1）当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；
（2）在Rt△ADE中，根据∠A及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠A的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC进行求解即可． 【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．
证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°， ∵C点折叠后与AB边上的一点D重合， ∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°， ∴∠EBD=30°，
∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；
∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线， ∴D为AB中点．
（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD=22?12?3， ∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°， ∴BC=
1AB=3． 2在Rt△ABC中，AC=AB2?BC2=3，
∴S△ABC=
331×AC×BC=．
22【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的
性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．
①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？ ②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．
【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△OCP与Rt△ODP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等． 【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，
∴△OCM≌△ODN（AAS）， ∴OC=OD，
在△OCP与△ODP中， ∵???COM??DON???OCM??ODN?OM?ON??OC?OD,
?OP?OP∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴∠COP=∠DOP， 即OP平分∠AOB；
②解：①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC=OD；
②过C，D分别作OA，OB的垂线，两垂线交于点E； ③作射线OE，OE就是所求的角平分线． ∵CE⊥OA，ED⊥OB， ∴∠OCE=∠ODE=90°，
在Rt△OCE与Rt△ODE中， ∵??OC?OD，
?OE?OE∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）， ∴∠EOC=∠EOD，
∴OE为∠AOB的角平分线．
【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．
类型三、线段垂直平分线
4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；
（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．
【答案与解析】 解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=65°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°； （2）∵AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC； ∵△ABC的周长为41cm， ∴AB+AC+BC=41cm， 若AB=AC=15cm， 则BC=11cm，
则△BCE的周长为：15+11=26cm； 若BC=15cm，则AC=AB=13cm， ∵AB＞BC，
∴不符合题意，舍去． ∴△BCE的周长为26cm．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 举一反三：
【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．
【答案】解：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA， ∴∠BAF=∠ACF． 类型四、角平分线
5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． 【答案与解析】
证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N， ∵BE平分∠ABC，点P在BE上， ∴PD=PM， 同理，PM=PN， ∴PD=PN，
∴点P在∠A的平分线上．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
A． 1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D．
解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【巩固练习】
一、 选择题
1.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（ ） A． 35° B． 40° C． 70° D． 110° 2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3个 D． 不确定
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（ ） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④
4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A． AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
5．（2015?青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
垂足为E，DE=1，则BC=（ ）
A．
B．2 C．3 D．
+2
6．（2016?湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（ ）
A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对 8．面积相等的两个三角形（ ）
A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对 二、 填空题
9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 _________ 度．
10.△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B= _________ 度． 11．（2015秋?洛阳校级月考）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）+（a﹣c）+|b﹣c|=0，则这个三角形是 ．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： _________ ，使△AEH≌△CEB．
2
2
13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是 _________ ．
14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断
作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： _________ ．
15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是
_________ ．
16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC= _________ ． 三、 解答题
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
17.（2015秋?定州市期中）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，
且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
18.（2016秋?太和县期中）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证： （1）BD=DF．
（2）△ADE的周长等于AB+AC．
19. 如图，D，E是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．
20.（2015春?建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为 ；
（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为 ； （3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
【答案与解析】
一.选择题 1.【答案】B；
【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=
，
∵BD平分∠ABC交AC边于点D ∴∠DBC=
，
∴
+
+75=180°，
∴x=40°.
∴∠A的度数是40°. 故选B． 2．【答案】B；
【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B． 3.【答案】D；
【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；
若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成． 4.【答案】B；
【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD 正确，故本选项错误；
B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； 5.【答案】C；
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°， ∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3． 故选C．
6.【答案】C；
【解析】解：当4cm为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系， ∴周长为13cm；
当5cm为等腰三角形的腰时，
三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系， ∴周长为14cm，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
故选C.
7.【答案】A；
【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等， 符合“角角边”判定方法， 所以，两个三角形必定全等． 8.【答案】C；
【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等． 二、填空题 9．【答案】 20；
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是80°， ∴另一个底角也是80°，
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°=20°． 10．【答案】28；
【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°． 故答案为：28．
11.【答案】等边三角形；
【解析】解：∵（a﹣b）+（a﹣c）+|b﹣c|=0，
∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0， ∴a=b，a=c，b=c， ∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形．
12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE； 根据ASA添加AE=CE． 可证△AEH≌△CEB． 13.【答案】cm或
cm；
2
2
【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是得高是
cm；所以它斜边上的高是cm或
cm．
cm，再根据其高是斜边的一半
14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC． 【解析】解：把①②作为条件③作为结论，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC， 又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC， ∴BC=BD．
故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC． 15.【答案】PA=PB=PC;
【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P， ∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P， ∴PB=PC， ∴PA=PB=PC． 16.【答案】135°;
【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵角平分线BE、CF交于点O， ∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°． 故答案为135°． 三、解答题 17.【解析】 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM=180°， ∴∠MAD+∠ADM=90°， ∴∠AMD=90°， 即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM=MN，MN=CM， ∴BM=CM，
即M为BC的中点．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
18.【解析】
证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB． ∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC， ∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC， ∴DB=DF；
（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．
∵DE=DF+EF， ∴DE=BD+CE，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC． 19.【解析】
解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°． 因为BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°， ∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°． 所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°． 20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC=
=6（m），
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故AD=
=4
（m），
+10=（20+4
）m；
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4故答案为：（20+4）m；
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC+AC=AD，
222
即x+8=（6+x）， 解得；x=， ∵AC=8m，BC=6m， ∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=
（m）．
2
2
2
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
不等式及其性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
(2)五种不等号的读法及其意义： 符号 “≠” “＜” “＞” “≤” “≥” 读法 读作“不等于” 读作“小于” 读作“大于” 读作“小于或等于” 读作“大于或等于” 意义 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 表示左边的量比右边的量小 表示左边的量比右边的量大 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
ab?)． ccab?)． cc
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示： (1)x与-3的和是负数；
(2)x与5的和的28％不大于-6; (3)m除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)
m?3≤5． 4【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等．
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
举一反三：
【变式】a?a的值一定是（ ）．
A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 【答案】D.
2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2； ③“x的倒数超过10”可表示为1＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可x表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 【答案与解析】
①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确； ②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误； ③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为1＞10．故③正确； x④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2+b2＞0．故④正确． 综上所述，正确的说法有3个．故选C． 【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质
3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
22
（3）若a＞b，则 ac＞bc；
22
（4）若ac＞bc，则a＞b；
22
（5）若a＞b，则 a（c+1）＞b（c+1）． （6）若a＞b＞0，则＜． ．
【答案与解析】 解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
22
（3）若a＞b，当c=0时则 ac＞bc错误，故错误；
222
（4）由ac＞bc得c＞0，故正确；
222
（5）若a＞b，根据c+1，则 a（c+1）＞b（c+1）正确． （6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
4.（2017?青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（ ）
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
A．a2＜b2
B．2a＜2b
C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断． 【答案】D. 【解析】
解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2； B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误； C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误； D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变． 举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞【答案】m＜0.
解：∵将“mx＜3”变形为“x＞
3”，则m的取值范围是 ． m3”， m∴m的取值范围是m＜0． 故答案为：m＜0．
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
不等式及其性质（基础）巩固练习
【巩固练习】 一、选择题
1. （2016春?北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列不等式表示正确的是( ).
A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5
C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0 3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜0
5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（ ）.
A.a>c B.a 22x?1，则x?? 331115 C．若?x?1，则x＞-5 D．若x?1，则x? 5511 A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若? 二、填空题 7．（2016秋?太仓市校级期末）如果a＜b，则﹣3a ﹣3b（用“＞”或“＜”填空）． 8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为 ． 9．在-l，?12，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________23是不等式-x＞0的解． 10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空 (1)a-1________b-1； (2)2a______2b； (3)?11a_______?b； (4)a+l________b+1． 22ab_______ c2c211．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2) (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．） 三、解答题 13．现有不等式的性质： ①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； ②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变． 请解决以下两个问题： （1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）； （2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）． 22 14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a+b与2ab的大小是_______； 22 ②当a=-3，b=5时用不等式表示a+b与2ab的大小是__________； 22 ③当a=1，b=1时用不等式表示a+b与2ab的大小是________； 22 ④根据上述数学实验你猜想a+b与2ab的大小关系_______； ⑤用a、b的其他值检验你的猜想______． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 15．已知x＜y，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C. 2. 【答案】D； 【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误； x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。 3.【答案】B. 4.【答案】D； 【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D． 5.【答案】A. 6.【答案】B； 【解析】B错误，应改为：?二、填空题 7. 【答案】＞. 【解析】在a＜b的两边同时乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，两边同时加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案为：＞． 8.【答案】x﹣a≤0； 9.【答案】2；-1、?2 2 55x?1和?y?1； (3) x-2和y-1． 66232x?1，两边同除以?，可得：x??。 3231 2 【解析】一一代入验证. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断。 12.【答案】-1＜k≤3． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a， a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）a＞0时，2＞1，得2?a＞1?a，即2a＞a； a＜0时，2＞1，得2?a＜1?a，即2a＜a． 14.【解析】 解：①当a=3，b=5时， 22 a+b=34，2ab=30， ∵34＞30， 22 ∴a+b＞2ab； ②当a=-3，b=5时， 22 a+b=34，2ab=-30， ∵34＞-30， 22 ∴a+b＞2ab； ③当a=1，b=1时 22 a+b=2，2ab=2， ∵1=1， 22 ∴a+b=2ab； 22 ④综合①②③得出结论：a+b≥2ab（a=b时，取“=”）． 2 证明：∵（a-b）≥0（a=b时，取“=”）， 22 ∴a+b-2ab≥0， 22 ∴a+b≥2ab． 22 ⑤设a=2，b=2，则a+b=2ab=8，上述结论正确； 2222 设a=5，b=3，则a+b=34，2ab=30，所以a+b＞2ab， 22 综上所述，a+b≥2ab（a=b≠0时，取“=”）正确． 15.【解析】 解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y， ∴ 8x-3＜8y-3． 55x??y， 6655 ∴ ?x?1??y?1． 66 (2)∵ x＜y，∴ ? (3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1， ∴ x-2＜y-1． 北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2. 能够熟练解一元一次不等式； 3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2x?50是一个一元一次不等式． 3要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x?a（或x?a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax?b（或ax?b）的形式（其中a?0）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 是一个集合，是一个范围．其含义： 不等式的解集 ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念 1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些? (1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3) 31x?8 (4)≥2 (5)2x+y≤8 4x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5) 含有两个未知数． 【答案与解析】 解：(2)、(3)是一元一次不等式． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式 2.解不等式：2(x?1)?3(x?1)?2，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的． 【答案与解析】 解：去括号，得：2x?2?3x?3?2 移项、合并同类项，得：?x?3 系数化1得：x??3 这个不等式的解集在数轴上表示如图： 【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三： 【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ). 【答案】C. 3. （2016?连云港）解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可． 【答案与解析】 解：去分母，得：1+x＜3x﹣3， 移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1， 合并同类项，得：﹣2x＜﹣4， 系数化为1，得：x＞2， 将解集表示在数轴上如图： 【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．去分母时，不要漏乘不含分母的项． 举一反三： 【变式】若y1?【答案】 解：∵y1?x?12x?5?3,y2??1,问x取何值时，y1?y2． 54x?12x?5?3,y2??1, 54 若y1?y2， x?12x?5?3??1 54101 即 x? 6101 ∴当x?时，y1?y2． 6 则有 4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是_________． 【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解． 【答案】－１ 【解析】由已知得：x?a?1a?1??1，得a??1． ，由 22【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号． 举一反三： 【变式1】如果关于x的不等式(a+1)x＜a+1的解集是x＞l，则a的取值范围是________． 【答案】a??1. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【变式2】求不等式1+【答案】 解：1+ ≥2﹣ ≥2﹣ 的非正整数解． 6+3（x+1）≥12﹣2（x+7） 6+3x+3≥12﹣2x﹣14 3x+2x≥12﹣14﹣6﹣3 5x≥﹣11 x≥﹣2 所以非正整数解为0，﹣1，﹣2． 类型三、不等式的解及解集 5.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是( ). A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】根据不等式解的定义作答． 【答案】D 【解析】 解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8， 当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8， 当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8， 当x＝2时，4x+7(x-2)＝8． 故知x＝2不是原不等式的解． 【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的． 6.不等式x＞1在数轴上表示正确的是 ( ). 【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可． 【答案】C 【解析】 解：∵不等式x＞1 ∴在数轴上表示为: 故选C． 【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集． 举一反三： 【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A．－2＜x＜4 【答案】B. B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4 北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 一元一次不等式的解法（基础）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A.5+4＞8 B.2x－1 C.2x≤5 D. 1－3x≥0 x2．已知a＞b，则下列不等式正确的是( ). A．-3a＞-3b B．?ab?? 33 C．3-a＞3-b D．a-3＞b-3 3.下列说法中，正确的是( ). A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解 C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集 4.在下列解不等式 的过程中，错误的一步是（ ） A．去分母得5（2+x）＞3（2x﹣1） B．去括号得10+5x＞6x﹣3 C．移项得5x﹣6x＞﹣3﹣10 D．系数化为1得x＞3 5.不等式4?3x?2x?6的非负整数解有（ ）. A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.（2016?六盘水）不等式3x+2＜2x+3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质： (1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______． 34a??1，那么a_______；根据是________． 4329 (3)如果x??3，那么x________?；根据是________． 32 (2)如果?资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________． 8. 若a＞0，则关于x的不等式ax＞b的解集是________； 若a＜0，则关于x的不等式以ax＞b的解集是_______． 9.不等式x﹣4≤ 的解集是 ． 10.不等式4x?6?7x?12的非负整数解为 ． 11.（2017?新城区校级模拟）不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是 ． 12.若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______． 三、解答题 13．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）5x﹣12＜2（4x﹣3）； （2） 14．a取什么值时，代数式3－2a的值： (1)大于1？ (2)等于1？ (3)小于1？ 15．y取什么值时，代数式2y－3的值： (1)大于5y－3的值？ (2)不大于5y－3的值？ 16．求不等式64－11x＞4的正整数解． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】考查一元一次不等式的概念； 2. 【答案】D； 【解析】考查一元一次不等式的性质； 3. 【答案】A ； 4. 【答案】D； 【解析】解：去分母得，5（2+x）＞3（2x﹣1） 去括号得，10+5x＞6x﹣3， 移项得，5x﹣6x＞﹣3﹣10， 合并同类项得，﹣x＞﹣13， 系数化为1得，x＜13，故D错误． ≥ ﹣1． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 故选D． 5. 【答案】C； 【解析】先求得解集为x?2，所以非负整数解为：0,1,2； 6.【答案】D； 【解析】解：3x+2＜2x+3移项及合并同类项，得x＜1，故选D． 二、填空题 7. 【答案】(1)＞，不等式基本性质1；(2)＞，不等式基本性质3； (3)＜，不等式基本性 质2；(4)＜，不等式基本性质1； 8.【答案】x?bb，x?； aa 【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向. 9.【答案】x≥﹣2； 【解析】解：x﹣4≤ 3（x﹣4）≤4x﹣10 3x﹣12≤4x﹣10 3x﹣4x≤﹣10+12 ﹣x≤2 x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 10．【答案】0，1，2； 【解析】解不等式得x?2 11.【答案】5． 【解析】解：﹣x+2＞0，移项，得：﹣x＞﹣2，系数化为1，得：x＜6， 故不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是5． 12.【答案】x?m?1． m?51?mm?1 ?5?mm?5 【解析】∵m?5，∴5?m?0，所以(5－m)x＞1－m，可得：x?三、解答题 13.【解析】 解：（1）去括号得：5x﹣12＜8x﹣6， 5x﹣8x＜﹣6+12， ﹣3x＜6， x＞﹣2， 在数轴上表示不等式的解集为： ； （2）去分母得：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 9x﹣6≥10x+5﹣15， 9x﹣10x≥﹣15+5+6， ﹣x≥﹣4， x≤4， 在数轴上表示不等式的解集为： ． 14.【解析】 解：(1)由3-2a＞1，得a＜1； (2)由3-2a＝1，得a =1； (3)由3-2a＜1，得a＞1． 15.【解析】 解：(1)由2y-3＞5y-3，得y＜0； (2)由2y-3≤5y-3，得y≥0． 16.【解析】 解：先解不等式的解集为x＜ 60, 11所以正整数解为1，2，3，4，5． 北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解 【学习目标】 1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题； 2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系． 【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，利润率=?100% 进价4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：abcd?a?10?b?10?c?10?d. 要点二、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点诠释： (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． 32 （4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车 ”．这一点应十分注意． 【典型例题】 类型一、行程问题 1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外（包括100m）的安全地区，导火索至少需要多长？ 【思路点拨】设导火索要xcm长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m的安全地区，可列不等式求解． 【答案与解析】 解：设导火索要xcm长，根据题意得： x100 ≥0.85解得：x?16 答：导火索至少要16cm长． 【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m的安全距离作为不等量关系列不等式求解． 类型二、工程问题 2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？ 【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x土方，一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，那么该土方工程还剩300-60=240土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，说明至多4天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列不等式解得x即可知以后平均每天至少完成多少土方． 【答案与解析】 解：设以后几天平均每天完成x土方．由题意得： 240≤3 x300?60≤6?2?1 x解得： x≥80 答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方． 【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式． 举一反三： 【变式】某人计划20天内至少加工400个零件，前5天平均每天加工了33个零件，此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？ 【答案】解：设以后平均每天加工x个零件， 由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400， 解得：x≥152． 3∵x为正整数， ∴x取16． 答：该工人以后平均每天至少加工16个零件． 类型三、利润问题 3.水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg．售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？ 【答案与解析】 解：设余下的水果可以按原定价的x折出售,根据题意得： 1t＝1000kg x10001000?7)??(10?7)?≥2000 1022解得：x≥8 (10?答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售． 【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式． 举一反三： 【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折． 【答案】六. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 类型四、方案选择 4.（2016?资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元． （1）求出A型、B型污水处理设备的单价； （2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案． 【思路点拨】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案； （2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案． 【答案与解析】 解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得： ， 解得： ． 答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元； （2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得： 220a+190（8﹣a）≥1565， 解得：a≥1.5， ∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高， ∴A型污水处理设备买越少，越省钱， ∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱． 【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键． 北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 实际问题与一元一次不等式（基础）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于（ ）米． A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5 2.（2016?西宁）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ） A．103块 B．104块 C．105块 D．106块 3.小红和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小红和妈妈坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那一端仍然着地，小红的体重应小于( ) A．49kg B．50kg C．24kg D．25kg 4．某商品进价为800元，售价为1200元，由于受市场供求关系的影响，现准备打折销售， 售价?进价???100%?不低于5%，则至少可打( ) 但要求利润率?利润率?进价?? A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 5．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，结果如图所示，那么这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( ) A． ■、●、▲ B． ■、▲、● C． ▲、●、■ D． ▲、■、● 6．现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8本，那么不够分，现在每人分7本，还多10本，则小朋友人数最少有 ( ) A.7人 B. 8人 C. 10人 D.11人 二、填空题 7．当x_______时，代数式-3x+5的值是正数；当x_______时，它的值不大于4；当x______时，它的值不小于2． 8．一家商店计划出售60件衬衫，要使销售总额不低于5100元，则每件衬衫的售价至少应为_______元． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 9．有10名菜农，每名可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩的收入是0.5万元，辣椒每亩的收入是0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排________名菜农种茄子． 10．用一根长不足160 cm的铁丝围成一个宽是x cm，长是宽的2倍的长方形，则可列不等式_______． 11.（2016春?德州期末）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在60分以上． 12．一个工程队规定在6天内完成300千米的修路工程，第一天完成了60千米，现在接到任务要比原计划至少提前2填完成任务，以后几天平均每天至少完成 千米． 三、解答题 13．某工人计划在15天里加工408个零件，前三天每天加工24个，问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？ 14．某种飞机进行飞行训练，飞出去的速度为1200km/h，飞回机场的速度为1500km/h，飞机油箱中的燃油只能保持2.5h的飞行，则飞机最多飞出多少千米就应返回？(结果精确到10km) 15．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折? 16.沃尔玛超市销售每台进价为320元和250元的A、B两种型号的电器，下表是两天的销售情况： （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电器的销售单价； （2）若超市准备用不多于8200元的金额再采购这两种型号的电器共30台，求A种型号的电器最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电器能否实现利润至少为2100元的目标？请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】解：设导火线的长度为x米， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 由题意得， ＞ + ， 解得：x＞1.3． 故选C． 2.【答案】C； 【解析】设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000解得x＞104 ∴这批电话手表至少有105块，故选C． 3. 【答案】D ； 【解析】解：设小红的体重为xkg，由题意可得： x?2x?150?(x?2x)，解得：x?25． 4. 【答案】B； 1200? 【解析】解：设打x折，由题意得： x?80010≥5%，解得x≥7，所以至少应打8007折. 5. 【答案】B； 【解析】由图可得： 2■＞■+▲ ①，●+▲＝3● ②，由①②得■＞▲，2●＝▲， 所以可得：■＞▲＞●． 6. 【答案】D； 【解析】设小朋友人数为x人，可得：8x?7x?10，解得：x?10，所以小朋友至少为11人． 二、填空题 7.【答案】?15，≥，≤1； 3315；由?3x?5≤4得x≥；由?3x?5≥2得x≤1． 33【解析】 由?3x?5?0,得x?8.【答案】85； 【解析】设售价为x元，则60x≥5100得x≥85． 9.【答案】4； 【解析】设最多只能安排x名菜农种茄子，则有(10-x)人种辣椒，那么种茄子的收入为3×0.5x万元，种辣椒的收入为2×0.8×(10-x)万元，那么总收入为3×0.5x+2×0.8(10-x)万元．根据题意：3×0.5x+2×0.8(10-x)≥15.6，解得x≤4，故最多安排4名菜农种茄子 10．【答案】x+2x＜80； 11.【答案】x＞ ． 所以至少要答对12道题， 【解析】设答对x道．故6x﹣2（15﹣x）＞60解得：x＞成绩才能在60分以上． 12.【答案】80； 【解析】解：设以后几天平均每天完成x千米，由题意得： 60+（6﹣1﹣2）x≥300， 解得：x≥80， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 故以后几天平均每天至少完成80千米， 故答案为：80． 三、解答题 13.【解析】 解：设三天后每天加工x个零件，根据题意得: 24×3+(15-3)x＞408， 解得 x＞28． 因为x为正整数， 所以以后每天加工的零件数至少为29个． 14.【解析】 解：设飞机最多飞出x千米就应返回，则: xx??2.5． 120015002解得x＜1666． 3∴x取1660． ∴飞机最多飞出1660千米就应返回． 15.【解析】 解：设该同学买x支钢笔，根据题题意，得: 15×6+8x≥200， 解得 x≥13． 故该同学至少要买14支钢笔才能打折． 16.【解析】 解：（1）设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元和y元， 由题意，得：2x+3y=1700， 3x+y=1500， 解得x=400元，y=300元， ∴A、B两种型号电器的销售单价分别为400元和300元； （2）设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器（30﹣a）台， 依题意，得320a+250（30﹣a）≤8200， 解得a≤10，a取最大值为10， ∴超市最多采购A种型号电器10台时，采购金额不多于8200元； （3）依题意，得 （400﹣320）a+（300﹣250）（30﹣a）≥2100， 解得 a≥20， ∵a的最大值为10， ∴在（2）的条件下超市不能实现利润至少为2100元的目标． 34北师大版八年级下册数学 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 一次函数与一元一次不等式（基础） 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax?b＞0或ax?b＜0或ax?b≥0或ax?b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y?ax?b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范 围. 要点诠释：求关于x的一元一次不等式ax?b＞0（a≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x为何值时，函数y?ax?b的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y?ax?b在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax?b?cx?d（a≠c，且ac?0）的解集?y?ax?b的函数值大于y?cx?d的 函数值时的自变量x取值范围?直线y?ax?b在直线y?cx?d的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y?kx?b交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式?kx?b＜0的解集为（ ） A．x＞－3 B．x＜－3 C．x＞3 D．x＜3 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【思路点拨】?kx?b＜0即kx?b＞0，图象在x轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx?b＞0的解集. 【答案】A； 【解析】观察图象可知，当x＞－3时，直线y?kx?b落在x轴的上方， 即不等式kx?b＞0的解集为x＞－3， ∵?kx?b＜0 ∴kx?b＞0， ∴?kx?b＜0解集为x＞－3． 【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 举一反三： 【变式】如图，直线y?kx?b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不 等式kx?b＋3≥0的解集是（ ） A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2 【答案】A； 提示：从图象上知，直线y?kx?b的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点为B（0，－3），即当x＝0时，y＝－3，所以当x≥0时，函数值kx?b≥－3． 2、直线l1:y?k1x?b与直线l2:y?k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x?b?k2x的解为（ ）． A．x??1 B．x??1 C．x??2 D．无法确定 【答案】B； -1O-2yy=k2xxy=k1x+b 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【解析】从图象上看k1x?b?k2x的解，就是找到l1在l2的上方的部分图象，看这部分图象 自变量的取值范围.当x??1时，k1x?b?k2x，故选B. 【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题. 举一反三： 【变式】直线l1：y?k1x?b与直线l2：y?k2x?c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x?b＜k2x?c的解集为（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞－2 D．x＜－2 【答案】B； 提示：y?k1x?b与直线l2：y?k2x?c在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到x＜1时不等式k1x?b＜k2x?c成立． 3、（2016春?瑞昌市期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）关于x的不等式ax+b＞0的解集是 ． （2）关于x的不等式mx+n＜1的解集是 ． （3）当x为何值时，y1≤y2？ （4）当x为何值时，0＜y2＜y1？ 【思路点拨】紧密结合图象，根据直线与坐标轴的交点来确定不等式的解集，从而判断函数值的大小关系. 【答案与解析】 解：（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0）， ∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4； 故答案是：x＜4； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1）， ∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；． 故答案是：x＜0； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2， 所以当x≤2时，y1≤y2； （4）如图所示，当2＜x＜4时，0＜y2＜y1． 【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 举一反三： 【变式】（2015春?东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集． 【答案】 解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）， ∴解得 ， ， ∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5； （2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C， ∴ ． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解得 ， ∴点C（3，2）； （3）根据图象可得x＞3． 类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题 4、（2015?新疆）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元． 品牌 进价/（元/ 售价/（元/件） 件） A 50 80 B 40 65 （1）求W关于x的函数关系式； （2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价） 【思路点拨】（1）由总利润=A品牌T恤的利润+B品牌T恤的利润就可以求出w关于x的函数关系式； （2）根据“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论． 【答案与解析】 解：（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200﹣x）件，由题意得： w=（80﹣50）x+（65﹣40）（200﹣x）， w=30x+5000﹣25x， w=5x+5000． 答：w关于x的函数关系式为w=5x+5000； （2）∵购进两种T恤的总费用不超过9500元， ∴50x+40（200﹣x）≤9500， ∴x≤150． ∵w=5x+5000． ∴k=5＞0 ∴w随x的增大而增大， ∴x=150时，w的最大值为5750． ∴购进A种T恤150件． ∴购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元． 【总结升华】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【巩固练习】 一.选择题 1. （2014春?武侯区期末）如图，直线y=kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解为（ ） A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2 2.（2016?富顺县校级二模）一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（ ） A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断 3. 已知关于x的不等式ax?1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y?ax?1与x轴的交点是（ ） A．（0，1） B．（－1，0） C．（0，－1） D．（1，0） 4. 如图，已知函数y?3x?b和y?ax?3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x?b＞ax?3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5. 如图，l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A．小于3吨 B．大于3吨 C．小于4吨 D．大于4吨 6. 如图，已知函数y1?3x?b和y2?ax?3的图象交于点P（－2，－5），则下列结论正确的是（ ） A．x＜－2时，y1＜y2 B．x＜－2时，y1＞y2 C．a＜0 D．b＜0 二.填空题 7. 不等式2x－6＜x＋6的解集，表示对于同一个x的值，函数y?2x?6的图象上的点 在y?x?6的图象上的点的_______方. 8. 已知直线y1?2x?1和y2??x?1的图象如图所示，根据图象填空．当x______时，y1＝y2；当x_______时，y1＜y2；方程组??y?2x?1的解是______. y??x?1? 9. 一次函数y1?kx?b与y2?x?a的图象如图，则下列结论①k?0；②a?0；③当 x?3时，y1?y2中，正确的是______． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 10. 一次函数y1?k1x?b1与y2?k2x?b2的图象如图所示，则当x______时，y1＜y2；当 x______时，y1＝y2；当x______时，y1＞y2． 11.（2014春?冠县校级期末）如图，直线y=kx+b经过A（﹣1，1）和B（﹣则不等式组0＜kx+b＜1的解集为 ． ，0）两点， 12. 已知不等式?x?5＞3x?3的解集是x＜2，则直线y??x?5与y?3x?3的交点坐标是_______. 三.解答题 13. 在同一直角坐标系中 （1）作出函数y??x?2和y?2x?4的图象． （2）用图象法求不等式?x?2＞2x?4的解集. 14.（2014秋?岳阳校级期中）某移动通信公司开展两种业务：“全球通”使用者缴30元月租费，然后每通话一分钟再付费0.25元；“神州行”不缴月租费，每通话一分钟付话费0.40元．若一个月内通话x分钟． （1）用代数式表示两种方式的费用各是多少？ （2）若某人估计一个月内通话200分钟，应选择哪一种方式合算些？ 15.（2016?曲靖）如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）求y1＞y2时x的取值范围． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A； 【解析】解：由kx+b+3≤0得kx+b≤﹣3， 直线y=kx+b与y轴的交点为B（0，﹣3）， 即当x=0时，y=﹣3， 由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0． 故选A． 2. 【答案】B； 【解析】因为一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴的交点分别为（1，0）、（0，﹣2）， 所以当0＜x≤1，函数y的取值范围是：﹣2＜y≤0，故选B. 3. 【答案】D； 【解析】由于关于x的不等式ax?1＞0（a≠0）的解集是x＜1，即当x＝1时，函数 的值为0，故可得到直线y?ax?1与x轴的交点坐标． 4. 【答案】C； 【解析】从图象得到，当x＞－2时，y?3x?b的图象对应的点在函数y?ax?3的图象上面，∴不等式3x?b＞ax?3的解集为x＞－2． 5. 【答案】D； 【解析】当x＞4时，l1＞l2． 6. 【答案】A； 【解析】A、由图象可知x＜－2时，y1＜y2，故正确；B、由图象可知x＜－2时，y1 ＜y2，故错误；C、由y2?ax?3经过一、三象限是a＜0，经过四象限是a＞0，故错误；D、由函数y1?3x?b一、二、三象限，可知b＞0，故错误． 二.填空题 7. 【答案】下； ?x?08. 【答案】＝0；＜0；?； y??1?9. 【答案】① ； 【解析】由图象可知，k＜0，a＜0，当x?3时，y1的图象在y2的上方，所以y1?y2， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 所以只有①正确. 10.【答案】＞1；＝1；＜1； 11.【答案】﹣＜x＜1； 【解析】解：由题意可得：一次函数图象在y=1的下方时x＜﹣1，在y=0的上方时x＞ ﹣，∴关于x的不等式0＜kx+b＜1的解集是﹣＜x＜﹣1． 12.【答案】（2，3）； 【解析】已知不等式?x?5＞3x?3的解集是x＜2，则当x＝2时，－x＋5＝3x－3； 即当x＝2时，函数y??x?5与y?3x?3的函数值相等；因而直线（2，3）． y??x?5与y?3x?3的交点坐标是： 三.解答题 13.【解析】 解：（1）对于y??x?2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2， 即y??x?2过点（0，2）和点（2，0），过这两点作直线即为y??x?2的图象； 对于y?2x?4，当x＝0时，y＝－4；当y＝0时，x＝2， 即y?2x?4过点（0，－4）和点（2，0），过这两点作直线即为y?2x?4的图象． 图象如下图： （2）从图象得出，当x＜2时，函数y??x?2的图象在函数y?2x?4的上方， ∴不等式?x?2＞2x?4的解集为：x＜2． 14.【解析】 解：（1）设两种费用分别为：y1，y2， 依题意可得：y1=30+0.25x，y2=0.4x； （2）当x=200时，y1=80，y2=80，两种方式一样． 15.【解析】 解：（1）由y1=﹣x+1， 可知当y=0时，x=2， ∴点A的坐标是（2，0）， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴AO=2， ∵y1=﹣x+1与直线y2=﹣x交于点B， ∴B点的坐标是（﹣1，1.5）， ∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5； （2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5）， 由函数图象可知y1＞y2时，x＞﹣1． 北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 一元一次不等式组（基础）知识讲解 【学习目标】 1.理解不等式组的概念； 2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集； 3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用． 【要点梳理】 要点一、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式 ?x?7?0?x?2?5?组．如?，?2x?11?6等都是一元一次不等式组． ?x?6?2010?3x?15?9? 要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 要点二、解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点诠释： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． 资料来源于网络 仅供免费交流使用
相关推荐：
loading