3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 (1)定理
条件 如果三个向量a，b，c01□不共面，那么对空间任一向量p 02唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc 结论 存在□(2)基底与基向量 03□如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个
04a，b，c都叫做基向量． 基底，□2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
0506{e1，e2，□三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底，用□e3}表示．
(2)空间直角坐标系
07公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的□08正以e1，e2，e3的□09Oxyz. 方向建立空间直角坐标系□(3)空间向量的坐标表示
10平移，使它的□11起点与原点O重合，得到向量对于空间任意一个向量p，一定可以把它□→
12xe1＋ye2＋ze3.把□13OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝□14(x，y，z)． x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝□
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( ) →
(2)向量AP的坐标与点P的坐标一致．( )
(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2 a2＋
λ3 a3.( )
答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做
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(1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( ) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面
(2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．
(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．
→
(4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则AD1
→
的坐标为________，AC1的坐标为________．
答案 (1)A (2)(2，－1,3) (3)② (4)(0,2,1) (2,2,1)
探究1 基底的概念
例1 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋
a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为空间的一个基底， ∴a，b，c不共面， 1＝μ，??
∴?1＝λ，??0＝λ＋μ，
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底． 拓展提升
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能
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构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
【跟踪训练1】 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 C
解析 解法一：由空间向量共面的充要条件知： 若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不能作为基底． 若②中，假设x，y，z共面，则z＝λx＋μy， 即：c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，
λ＝1，??
则?λ＋μ＝0，??μ＝1，
此方程组无解．
∴x，y，z不共面，故②能作为基底． 同理，③能作为基底．
对④，若x，y，a＋b＋c共面，则存在实数λ，μ，使a＋b＋c＝λx＋μy＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)
λ＝1，??
即?λ＋μ＝1，??μ＝1，
此方程组无解．
∴x，y，a＋b＋c不共面，故④能作为基底． 解法二：如图所示，
→→→设a＝AB，b＝AA1，c＝AD， →→则x＝AB1，y＝AD1，
z＝AC，a＋b＋c＝AC1，
→→
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由A，B1，C，D1四点不共面， 可知向量x，y，z也不共面，
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面． 探究2 用基底表示向量
例2 如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1
→→→
的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，用基底{a，b，c}表→→→→
示以下向量：(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
[解] 连接AC，AC1.
1→→→1111→1→→
(1)AP＝(AC＋AA1)＝(AB＋AD＋AA1)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c.
2222221→→→111→1→→
(2)AM＝(AC＋AD1)＝(AB＋2AD＋AA1)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
222221→→→1→1→→→→
(3)AN＝(AC1＋AD1)＝[(AB＋AD＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝a＋b＋c.
222
14→→→→4→→1→4→1→1→4→1
(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋(AA1－AC)＝AC＋AA1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c.
555555555→→→
[结论探究] 如果把例2中要表示的向量改为A1C，BM，BQ，怎样解答呢？ →→→→→→
解 A1C＝AC－AA1＝(AB＋AD)－AA1＝a＋b－c. →
BM＝BC＋CM＝AD＋CD1＝AD＋(CD＋DD1)＝AD＋(BA＋AA1)＝AD＋(－AB＋AA1)＝b＋
→→→
1→2
→
1→2
→→
1→2
→→
12
→→
12
11
(－a＋c)＝－a＋b＋c.
22
114414→→→→→
BQ＝BA＋AQ＝－AB＋AQ＝－a＋a＋b＋c＝－a＋b＋c.
555555 拓展提升
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，
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