第1章 质点运动学 P21
1.8 一质点在xOy平面上运动，运动方程为：x=3t+5, y=
x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。
12
t+3t-4. 2解：由a?两边积分
dvdvdxdv2得：vdv?adx?(2?6x)dx ??vdtdxdtdxvx,y以m计。式中t以 s计，⑴以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；
⑵求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶
计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。
解：（1）r?(3t?5)i?(t2?3t?4)jm
?10vdv??(2?6x2)dx得：v22?2x?2x3?50
0x∴ v?2x3?x?25 m?s?1
1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为?=2+3t3，式中?以弧度计，t以秒计，求：⑴ t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度
的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
???vv??v⑵ t?1s,t?2s时，r1?8i?0.5j m；r2?11i?4jm
vvvvv∴ ?r?r2?r1?3i?4.5jm
⑶t?0s时，r0?5i?4j；t?4s时，r4?17i?16j
12?d?d??9t2,???18t dtdt?2∴ t?2s时，a??R??1?18?2?36m?s
解： ??222?2 an?R??1?(9?2)?1296m?s
vvvvvv∴ 当加速度方向与半径成45ο角时，有：tan45??a?an?1
22即：R??R?，亦即(9t)?18t，解得：t3?2vvvvvvvr?r?r12i?20jv?40??3i?5jm?s?1 ∴ v??t4?04vvvvvvvdr?1⑷ v??3i?(t?3)jm?s，则：v4?3i?7j m?s?1
dtvvvvvv(5) t?0s时，v0?3i?3j；t?4s时，v4?3i?7j
vvvvvv?vv4?v04j???1j m?s?2 a??t44vvvdv(6) a??1j m?s?2 这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
dt1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a?2?6x，a的单位为m/s2，
22 9则角位移为：??2?3t3?2?3?2?2.67rad 91.13 一质点在半径为0.4m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为?=0.2 rad/s2，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s?1
则v?R??0.4?0.4?0.16m?s?1
22?2 an?R??0.4?(0.4)?0.064m?s
?2 a??R??0.4?0.2?0.08m?s
a?2an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
与切向夹角??arctan(ana?)?0.0640.08?43?
1
第2章 质点动力学
2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，
vvvvvv?v1??p1m?5.6m?s?1i ；I1??p1?56kg?m?s?1i
若物体原来具有?6m?s?1初速，则
tvtvvvvvvp0??mv0 , p?m(?v0??Fm?dt)??mv0??Fdt00 ?t????vv??于是：?p2?p?p0??Fdt??p1, 同理有：?v2??v1,I2?I1
t=0时质点的速度为v0，证明：⑴t时刻的速度为v=v0ekk?()tm；⑵ 由0到t的
?()tmv0xe时间内经过的距离为＝()［1-m］；⑶停止运动前经过的距离为
kmm1v0()；⑷当t?时速度减至v0的，式中m为质点的质量。
kke解：f??kv，a?fm??kvm
dvkv∴ 由a?得：dv?adt??dt
dtmvdvt?kdtdvk分离变量得：， ??dt，即???v0v0mvmv?kt?kt?lnem， ∴ v?v0em 因此有：lnv0xtdx?kt?kt∴ 由v?得：dx?vdt?v0emdt，两边积分得：?dx??v0emdt00dt
kmv0?t(1?em) ∴ x?k0这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理。
∴ 同上理，两种情况中的作用时间相同，即：I?2?t0(10?2t)dt?10t?t2
亦即：t?10t?200?0， 解得t?10s，(t??20s舍去)
???????F?7i?6jNr??3i?4j?16km2.17 设合。⑴ 当一质点从原点运动到?时，求F所作的功。⑵ 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率。⑶ 如果
质点的质量为1kg，试求动能的变化。
?v解： ∴ 由题知，F合为恒力，且r0?0
vvvvvvv∴ A合?F??r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)??21?24??45J
∴ 质点停止运动时速度为零，v?v0e故有：x??kt?m?0，即t→∞，
A45??75w ?t0.6∴ 由动能定理，?Ek?A??45J
∴ P?2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为
??0v0ekt?mdt?mv0k
k?m?mkk2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如
∴ t?mk时，其速度为：v?v0e即速度减至v0的1e.
?v0e?1?v0e，
uvv2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，又 F?k?x，F?k?x
A11B22⑴ 求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。⑵ 为了
使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物
?体和一个具有初速度?6jm/s的物体,回答这两个问题。 解： ∴ 若物体原来静止，则
图。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解： 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有： FA?FB?Mg ，
所以静止时两弹簧伸长量之比为：?x1?x2?k2k1 弹性势能之比为：
Ep1Ep2??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，
0012?k1?x12k2??212?k2?x2k1
2
第3章 刚体力学基础
3.7 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。
???解： 由题知，质点的位矢为：r?x1i?y1j
vvv??作用在质点上的力为：f??fi
所以，质点对原点的角动量为：
vvvvvvvvL0?r?mv?(x1i?y1j)?m(vxi?vyj)?(x1mvy?y1mvx)k
???????作用在质点上的力的力矩为：M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1＝8.75×1010m 时的速率是v1＝5.46×104m/s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×102 m/s,这时它离太阳的距离r2是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力，即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有：
????2?1∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m?s
vvtvtvu?L??M?dt??(r?f)dt00uvuuvdL3?v152v?v ?(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt 解法(二) ∴M?， ∴ ??023dt??vv3 ??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?103.10 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题3.10图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?
解：只挂重物M1时，小球作圆周运动，向心力为
M1g，即：M1g?mr0?02 ∴
(M1?M2)g?mr??? ∴ 挂上M2后，则有：
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒。
22即：r0mv0?r?mv??r0?0?r??? ∴
2r1v18.75?1010?5.46?104r1mv1?r2mv2 ∴ r2???5.26?1012m 2v29.08?10????vvv3.9 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im,v?i?6j(m/s)，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后，⑴ 物体动量的变化；⑵ 相对z轴角动量的变化。
??3???1 解：∴ ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s
0vvv∴ 解法(一) 由a?fm?53 jN得：x?x0?v0xt?4?tt?3?4?3?7m
v1515y?v0yt?at2?6t?t2?6?3???32?25.5j
26t?323?????即有：r1?4i,r2?7i?25.5j
vx?v0x?1；vy?v0y?at?6?53?3?11
uuvvvuuvvv即有：v2?i1?6j,v2?i?11j
uvvvvvvvu∴ L1?r ?mv?4i?3(i?6j)?72k11uuvvvvvvvv L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k
3
M1gM1?M22M1g()3， 联立∴、∴、∴得：?0?，???mr0mr0M11M1?M2M1 r??g?()3?r0 2m??M1?M2
3.11 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转
速为900 rev/min。现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.11图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。试求：
⑴ 设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? ⑵ 如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?
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