12、解排列组合问题中的数学思想方法(分类讨论与等价转化)

解排列组合问题中常用的数学思想方法

（分类讨论与等价转化）

一、分类讨论思想

排列组合问题往往情境复杂，层次多，视角广，这需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。

例1、已知集合A和集合B各含有12个元素，A?B含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C的个数：

①C?A?B且C中含有3个元素；②C?A??。 解析：如图，因为A，B各含有12个元素，A?B 4 含有4个元素，所以A?B中的元素有12?12?4?20 8 8 A12AB个，其中：属于的有个，属于而不属于的有8

个；属于B的有12个，属于B而不属于A的也有8个。 要使C?A??，则C中的元素至少含在A中，集合C

121的个数是：㈠只含A中1个元素的有C12C82；㈡含A中2个元素的有C12C8；㈢含A中3个

3012130元素的有C12。故所求的集合C的个数共有C12C8C82?C12C8?C12C8?1084个。

二、等价转化思想

很多排列组合问题的解决，如果能跳出题目没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局。 1、具体与抽象的转化

例2、某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？

解析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化为下列问题：数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？①两个0不

21相邻的情况有C6种；②两个0相邻的情况有C6种。所以，击中和末击中的不同顺序情况有

21C6?C6?21种。

2、不同数学概念之间的转化

例3、连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线的有多少对？

解析：正面求解或反面求解（利用补集），虽可行，但容易遗漏或重复。因为每一个三棱锥对应着三对异面直线，所以可转化为计算正方体8个顶点能构成多少个三棱锥？从正方

4体8个顶点中任取4个，有C8种，其中4点共面的有12种（6个表面和6个对角面）。不共4面的4点可构一个三棱锥，共有C8 ?12个三棱锥。因而共有3C84?12?174对异面直线。

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