专题强化训练(二十二) 选修4－4 坐标系与参数方程 1．[2019·济南模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
??x＝3cosθ，?(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极??y＝1＋3sinθ
π??
轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋6?＝23.
??
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
π
(2)射线OP的极坐标方程为θ＝6，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
???x＝3cosθ，?x＝3cosθ，
解：(1)由?可得?
???y＝1＋3sinθ，?y－1＝3sinθ，
所以x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3， 所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.
?3?π??1
由ρsin?θ＋6?＝23，可得ρ?sinθ＋cosθ?＝23，
2???2?
31
所以2ρsinθ＋2ρcosθ－23＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋3y－43＝0. (2)解法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0， 所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0. π?π???
由题意设A?ρ1，6?，B?ρ2，6?，
????
π
将θ＝6代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，得ρ21－ρ1－2＝0， 所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)．
π??π
将θ＝6代入ρsin?θ＋6?＝23，得ρ2＝4，
??所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
π
解法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝6，
3
所以射线OP的直角坐标方程为y＝3x(x≥0)． 由?3y＝?3x?x>0?
22x＋?y－1?＝3，?
解得A(3，1)．
?x＋3y－43＝0，由?3
y＝?3x?x>0?
解得B(23，2)，
所以|AB|＝?23－3?2＋?2－1?2＝2.
2．[2019·武汉4月调研]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为π??2
??θ＋极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsin4?＝2，?1
C2：ρ＝.
3－4sin2θ
2
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．
π??2??θ＋解：(1)由ρsin4?＝2得 ?ππ??2
??ρsinθcos4＋cosθsin4＝2， ??
??ρsinθ＝y，将?代入上式得x＋y＝1， ?ρcosθ＝x?
即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0， 122同理由ρ＝2可得3x－y＝1， 3－4sinθ
2
∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1
(2)先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
22
??3x－y＝1，由?得3x2－(1－x)2＝1， ??x＋y＝1
??x1＋x2＝－1，
即x＋x－1＝0，∴?
?x1x2＝－1，?
2
?13?
则MN的中点坐标为?－2，2?，
??
1－4×?－1?
∴|MN|＝1＋?－1?|x1－x2|＝2×＝10. 1
2∴以MN为直径的圆的方程为 1?2?3?2?10?2?
?x＋?＋?y－?＝??2??2??2?， ?
3?9?1?3?10
令x＝0，得4＋?y－2?2＝4，即?y－2?2＝4，∴y＝0或y＝3，
?
?
?
?
∴以MN为直径的圆与y轴的交点的坐标为(0,0)或(0,3)． 3．[2019·合肥质检二]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程
??x＝2cosα，为?(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建?y＝sinα?
立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝4ρsinθ－3.
(1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值． 解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数得，曲线C1的普通方程为x22
4＋y＝1.
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入曲线C2的极坐标方程得，曲线C2
的直角坐标方程为x2＋y2＝4y－3，
即x2＋(y－2)2＝1.
(2)由(1)知曲线C2是以C(0,2)为圆心，1为半径的圆． 设P点的坐标为(2cosα，sinα)， 则
|PQ|≤|PC|
＋
1
＝
4cos2α＋?sinα－2?2＋
1
＝
－3sin2α－4sina＋8＋1，
2221
当sinα＝－3时，|PQ|max＝3＋1.
4．[2019·郑州质量预测二]在平面直角坐标系xOy中，以O为极
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