π
半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝3.
(1)求曲线C的极坐标方程；
11
(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求|OA|＋|OB|的取值范围．
解：(1)由题意知曲线C的普通方程为 (x－2)2＋y2＝r2， 令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.
π
(2)解法一：把θ＝3代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.
令Δ＝4－4(4－r2)＞0， 结合0 方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0， 1111ρ1＋ρ22∴|OA|＋|OB|＝ρ＋ρ＝ρρ＝2. 4－r1212∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1， 11 ∴|OA|＋|OB|∈(2，＋∞)． ? 解法二：射线l的参数方程为?3 y＝?2t令Δ＝4－4(4－r2)>0， 结合0 1x＝2t (t为参数，t≥0)，将其 代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0， 方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－ 1111t1＋t22 r，t1>0，t2>0，∴|OA|＋|OB|＝t＋t＝tt＝. 4－r21212 2 ∵3 ∴|OA|＋|OB|∈(2，＋∞)． 6．[2019·长沙一模]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参 ??x＝1＋cosφ，数方程为?(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线 ??y＝1＋sinφ l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求l和M的极坐标方程； π?? ??0，(2)当α∈4?时，求|OA|＋|OB|的取值范围． ?解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)． 曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2， 所以M的极坐标方程为 ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0. (2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cosθ＋sinθ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cosα＋sinα)ρ＋1＝0， π???当α∈0，4?时，Δ＝4sin2α＞0， ??所以ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)， 根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径． 从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cosα＋sinα)＝ π???22sinα＋4?. ?? π??π?ππ? 当α∈?0，4?时，α＋4∈?4，2?， ? ? ? ? 故|OA|＋|OB|的取值范围是(2,22]． 7．[2019·福州质检]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ??3y＝a＋?2t1x＝－2t (t为参数，a∈R)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为 π 极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线θ＝3(ρ≥0)与曲线C交于O，P两点，直线l与曲线C交于A，B两点． (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)当|AB|＝|OP|时，求a的值． 解：(1)将直线l的参数方程化为普通方程，得 3x＋y－a＝0. 由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 从而x2＋y2＝4x，即曲线C的直角坐标方程为 x2－4x＋y2＝0. ?ρ＝4cosθ， (2)解法一：由?π ?θ＝3?ρ≥0?， 所以|OP|＝2， π?? 得P?2，3?. ?? 将直线l的参数方程代入圆的方程x2－4x＋y2＝0中， 得t2＋(2＋3a)t＋a2＝0， 由Δ>0，得23－4 则|AB|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝4＋43a－a2＝2， 解得，a＝0或a＝43. 所以，所求a的值为0或43. π 解法二：将θ＝3(ρ≥0)化为直角坐标方程，得 3x－y＝0(x≥0)， 由(1)知，曲线C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2， 由点到直线的距离公式，得点C到该射线的最短距离d＝＝3， 所以该射线与曲线C相交所得的弦长为 |OP|＝222－?3?2＝2. |23－a||23－a| 圆心C到直线l的距离为：＝， 23＋1 ?|23－a|?2 ?＋12＝22，得(23－a)2＝12， 由? 2?? 23 3＋1 即23－a＝±23， 解得，a＝0或a＝43. 所以，所求a的值为0或43. 8．[2019·洛阳统考]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ??x＝1＋2t?(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立?y＝－2＋t? 4极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝. 1＋3sin2θ (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； ??x′＝2x (2)设曲线C2经过伸缩变换?得到曲线C3，M(x，y)是曲 ?y′＝y? 线C3上任意一点，求点M到曲线C1的距离的最大值． ??x＝1＋2t 解：(1)根据?，消参可得曲线C1的普通方程为x－2y ??y＝－2＋t －5＝0， 4222 ∵ρ＝2，∴ρ＋3ρsinθ＝4， 1＋3sinθ 2 x＝ρcosθ?? 将?y＝ρsiinθ??x2＋y2＝ρ2 ，代入可得：x2＋4y2＝4. x22 故曲线C2的直角坐标方程为4＋y＝1. ??x′＝2xx22 (2)曲线C2：4＋y＝1，经过伸缩变换?得到曲线C3的 ?y′＝y? x′2 方程为16＋y′2＝1， x2 ∴曲线C3的方程为16＋y2＝1. 设M(4cosα，sinα)，根据点到直线的距离公式可得 |4cosα－2sinα－5||2sinα－4cosα＋5| 点M到曲线C1的距离d＝＝512＋?－2?2|25sin?α－φ?＋5|25＋5 ＝≤＝2＋5(其中tanφ＝2)， 55 ∴点M到曲线C1的距离的最大值为2＋5.
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