2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型解答题(六)理

解答题(六)

17．(2019·山西太原一模)如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

6. 2

asinA＋(c－a)sinC＝bsinB，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝

(1)求B；

(2)求△ABC的面积．

解 (1)∵asinA＋(c－a)sinC＝bsinB， ∴由＝＝，得a＋c－ac＝b，

sinAsinBsinCabc222

a2＋c2－b21

由余弦定理得cosB＝＝，

2ac2

∵0

(2)连接CE，如图，∵点D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE＝CE， ∴CE＝AE＝

6

＝， sinA2sinADECEBCBC62

在△BCE中，由正弦定理得＝＝，∴＝，∴

sinBsin∠BECsin2A2sinAsin60°2sinAcosAcosA＝

2

，∵0

＝90°，

∴CE＝3，AB＝AE＋BE＝3＋1， 13＋3

∴S△ABC＝AB·CE＝.

22

18. (2019·安徽江淮十校第三次联考)三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AB的中点，点E在侧棱CC1上，DE∥平面AB1C1.

(1)证明：E是CC1的中点；

(2)设∠BAC＝90°，四边形ABB1A1为正方形，四边形ACC1A1为矩形，且异面直线DE与B1C1

所成的角为30°，求二面角A1－AB1－C1的余弦值．

解 (1)证明：如图，取AC的中点M，连接DM，EM，因为D为AB的中点，所以DM∥BC∥B1C1，又DM?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DM∥平面AB1C1.

又DE∥平面AB1C1，且DM∩DE＝D，所以平面DEM∥平面AB1C1，又EM?平面DEM，所以EM∥平面AB1C1，而EM?平面ACC1A1，且平面ACC1A1∩平面AB1C1＝AC1，所以EM∥AC1，而M为AC的中点，所以E为CC1的中点.

(2)由题意知A1B1，A1C1，A1A两两垂直，以A1为坐标原点，A1C1所在的直线为x轴，A1A所在的直线为y轴，A1B1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系A1xyz.设AB＝AA1＝2，AC＝→

2a，则C1(2a,0,0)，B1(0，0,2)，D(0,2,1)，E(2a,1,0)，A(0,2,0)，所以B1C1＝(2a,0，－2)，→

DE＝(2a，－1，－1)．因为异面直线DE与B1C1所成的角为30°，

→→DE·B1C1→→

所以cos〈DE，B1C1〉＝ →→|DE||B1C1|＝

3＝， 22

4a＋4·4a＋22

4a＋2

2

解得a＝1，于是C1(2,0,0)．

设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)， →→

因为AC1＝(2，－2,0)，B1C1＝(2,0，－2)， →??n·AC1＝2x－2y＝0，

所以?

→??n·B1C1＝2x－2z＝0，

取z＝1，则x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)．又m＝(1,0,0)

是平面AA1B1的一个法向量，所以cos〈m，n〉＝

3. 3

m·n13

＝＝，即二面角A1－AB1－C1的余|m||n|33

弦值为

19．(2019·广东一模)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况 第1次考科目二人数 第1次通过科目二人数 第1次未通过科目二人数 男学员 1200 960 240 女学员 800 600 200 若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完所有机会为止．

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．

解 事件Ai表示男学员在第i次考科目二通过，事件Bi表示女学员在第i次考科目二通过(其中i＝1,2,3,4,5)．

96042401

由上表可知，P(Ai)＝＝，P(Ai)＝＝，

1200512005

P(Bi)＝60032001

＝，P(Bi)＝＝，其中i＝1,2,3,4,5. 80048004

(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费，则

P(M)＝P(A1B1＋A1B1B2＋A1A2B1＋A1A2B1B2)＝P(A1B1)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B1)＋P(A1A2B1B2)＝×＋××＋××＋×××＝.

9

所以这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为.

10(2)X的可能取值为400,600,800,1000,1200.

45

34134544

1455

314455

1394410

P(X＝400)＝P(A3B3)＝×＝，

P(X＝600)＝P(A3B3B4＋A3A4B3)＝××＋××＝41314327

，

544554100

141554

34114544

151354

453345

P(X＝800)＝P(A3A4B3B4＋A3B3 B4＋A3 A4B3)＝×××＋××＋××

＝11， 100

P(X＝1000)＝P(A3A4B3 B4＋A3 A4 B3B4)＝×××＋×××＝P(X＝1200)＝P(A3 A4 B3 B4)＝×××＝

则X的分布列为：

111554

11

. 4400

14551144115513447， 400

X P 400 3 5600 27 100800 11 1001000 7 4001200 1 4003271171故E(X)＝400×＋600×＋800×＋1000×＋1200×＝510.5.

5100100400400

20．(2019·河北中原名校联盟联考)已知点F是抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点，点M是→

抛物线上的定点，且MF＝(4,0)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线AB与抛物线C交于不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x2－x1|＝3，直线AB与切线l平行，设切点为N点，试问△ABN的面积是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

解 (1)设M(x0，y0)，由题知F?0，?，

?2?

2

?

p?p→??∴MF＝?－x0，－y0?＝(4,0)． 2??

－x0＝4，??

∴?p－y0＝0，??2

2

x0＝－4，??

即?py0＝，?2?

2

代入x＝2py(p>0)中得16＝p，解得p＝4. ∴抛物线C的方程为x＝8y.

(2)由题意知直线AB的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋b.

??y＝kx＋b，

由?2

?x＝8y，?

2

整理得x－8kx－8b＝0，则

2

x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，

∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k＋2b，

设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k＋b)． 由条件设切线方程为y＝kx＋t. 由?

??y＝kx＋t，??x＝8y，

2

2

2

2

整理得x－8kx－8t＝0，

2

∵直线与抛物线相切，

∴Δ＝64k＋32t＝0.∴t＝－2k. ∴x－8kx＋16k＝0，∴x＝4k，y＝2k. ∴切点N的坐标为(4k,2k)，

∴NQ⊥x轴，∴|NQ|＝(4k＋b)－2k＝2k＋b. ∵|x2－x1|＝3，

且(x2－x1)＝(x1＋x2)－4x1x2＝64k＋32b， 92

∴2k＋b＝. 321

∴S△ANM＝|NQ||x2－x1|

21272

＝(2k＋b)|x2－x1|＝. 264

27∴△ABN的面积为定值，且定值为. 64

11

21．(2019·湖北黄冈2月联考)已知函数f(x)＝axln (a∈R)的最大值为(其中e为自

xe然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)求a的值；

(2)任取两个不等的正数x1，x2，且x1

解 (1)由题意得，显然a≠0，∵f(x)＝－axln x， ∴f′(x)＝－a(1＋ln x)，x∈(0，＋∞)， 1

令f′(x)＝0，解得x＝，

e

11?1?①当a>0时，令f′(x)>0，解得0，∴f(x)在?0，?上单ee?e?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

fx2－fx1

x2－x1

?1?调递增，在?，＋∞?上单调递减， ?e?

1

∴f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值，

e

?1?1

∴f(x)max＝f??＝，解得a＝1.

?e?e

②当a<0时，易知与题意不符，故舍去． 综上所述，a＝1.

(2)证明：由(1)知f(x)＝－xln x， 则f′(x)＝－(1＋ln x)， ∴f′(x0)＝－(1＋ln x0)， ∴－(1＋ln x0)＝即ln x0＝－

fx2－fx1

，

x2－x1

fx2－fx1fx2－fx1

－1，则ln x0－ln x1＝－－1－ln x1＝

x2－x1x2－x1

x2x1x2ln －ln

x1x2x2ln x2－x2ln x1

－1＝－1＝－1，

x2－x1x2－x1x1

1－x2

x1－ln tt－ln t－1设＝t，t∈(0,1)，则g(t)＝－1＝， x21－t1－tt∈(0,1)，令h(t)＝t－ln t－1，t∈(0,1)，

1

则h′(t)＝1－<0，∴函数h(t)在(0,1)上单调递减，

t∴h(t)>h(1)＝0，即t－ln t－1>0，又1－t>0， ∴g(t)>0，即ln x0－ln x1>0，

∴x0>x1，同理可证x0

24

22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极

4cosθ＋3sinθ轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为

??x＝cosθ，?

?y＝sinθ?

(θ为参数)．

(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程； (2)将曲线C2经过伸缩变换?

?x′＝22x，

?y′＝2y

后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲

线C3上的动点，求|MN|的最小值．

24

解 (1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，

4cosθ＋3sinθ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，整理得4x＋3y－24＝0，

∴C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0. 曲线C2：?

??x＝cosθ，??y＝sinθ，

2

∴x＋y＝1，

22

故C2的普通方程为x＋y＝1.

2

?x′＝22x，

(2)将曲线C2经过伸缩变换?

?y′＝2y曲线C3的参数方程为?

后得到曲线C3的方程为

x′2y′2

8＋4

＝1，则

?x＝22cosα，?y＝2sinα

(α为参数)．

设N(22cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离为

d＝＝＝

|4×22cosα＋3×2sinα－24|

5

α＋φ55

－24|

|24124－241

α＋φ

42??

?tanφ＝?.

3??

24－241

当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，

524－241

所以|MN|的最小值为.

523．设函数f(x)＝|2x＋m|－|2x－m|. (1)当m＝6时，解不等式f(x)≥4； 12

(2)若n>0，证明f(x)≤mn＋. n12，x≥3，??

解 (1)当m＝6时，f(x)＝|2x＋6|－|2x－6|＝?4x，－3

??－12，x≤－3，当x≥3时，12>4恒成立；

当－3

(2)证明：f(x)＝|2x＋m|－|2x－m|≤|2x＋m－(2x－m)|＝|2m|， 122

由n>0，得mn＋≥2m＝2|m|，

n12

所以若n>0，则f(x)≤mn＋. n