2020高考数学圆锥曲线必背结论[精品资料] 

结论 1：过圆 x + y = 2a 上任意点 P 作圆 x + y = a 的两条切线，则两条切线垂直．

2

2

2

2

2

2

P 作椭圆 结论 2：过圆 x + y = a + b 上任意点

2

2

2

2

2 x

y2

+ = 1（ a > b > 0 ）的两条切线， b 2

2 x

则两条切线垂直．

a 2

2

2

2

2

P 作双曲线 结论 3：过圆 x + y = a – b （ a > b > 0 ）上任意点

y2

– = 1 的两条切 b 2

线，则两条切线垂直．

a 2

2

2

2

结论 4：过圆 x + y = a 上任意不同两点 A ， B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于 P ， 则动点 P 的轨迹为圆： x + y = 2a ．

2 2 结论 5：过椭圆 x + y

2

2

2

A ， B 作椭圆的切线，如果切 = 1（ a > b > 0 ）上任意不同两点

2

2

2

2

a 2 b 2

线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x + y = a + b ．

2 2

结论 6：过双曲线 x – y

A ， B 作双曲线的切线，如 = 1 （ a > b > 0 ）上任意不同两点

2

2

2

2

a 2 b 2

果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x + y = a – b ．

2 2

x y

结论 7：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 2 + 2 = 1（ M 作椭圆的切线方 a > b > 0 ）上，过点

a b

程为

x y y 0 x + 0 = 1． a 2 b 2

2 2

x y

结论 8：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 2 + 2 = 1（ M 作椭圆的两条切 a > b > 0 ）外，过点

a b

线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

x0 x y0 y

+ = 1． a 2

b 2

2 2

x y M （ 结论 8：（补充）点 x0 ， y0 ）在椭圆 2 + 2 = 1（ M 作椭圆 a > b > 0 ）内，过点 a b

的弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程 为直线： x 0 x a 2

+

y y0 b 2

= 1 ．

1

2 2 x y M （ 结论 9：点 x0 ， y0 ）在双曲线 2 – 2 = 1（ M 作双曲线的 a > 0, b > 0 ）上，过点 a b

切线方程为

x y y 0 x – 0 = 1 ． a 2 b 2

2 2

x y M （ 结论 10：点 x0 ， y0 ）在双曲线 2 – 2 = 1 （ M 作双曲线 a > 0, b > 0 ）外，过点 a b

的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

x0 x y0 y

– = 1． a 2

b 2

2 2

x y M （ 结论 10：（补充）点 x0 ， y0 ）在双曲线 2 – 2 = 1（ M 作 a > 0, b > 0 ）内，过点 a b

双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

x y y 0 x – 0 = 1 ．

a 2 b 2

结论 11：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y 2 = 2 px （ p > 0 ）上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 y = p(x + x0 ) ．

结论 12：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y 2 = 2 px （ p > 0 ）外，过点 M 作抛物线的两条切

线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 y0 y = p(x + x0 ) ．

结论 12：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y 2 = 2 px （ p > 0 ）内，过点 M 作抛物线的 弦 AB ， 分别过 A、B 作抛物线的切线， 则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

y0 y = p(x + x0 ) ．

结论 13：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 (x – m) +

2(y – n)2

b 2

a

2

= 1上，过点 M 作椭圆的切线方程

(x – m)(x – m) ( y – n)( y – n) 0 0 为 += 1．

a 2 b 2 x0 ， y0 ）在双曲线 结论 14：点 M （

–

= 1上，过点 M 作双曲线的切线 b 2

(x – m)2 (y – n)2

a 2

方程为

(x – m)(x – m) (y – n)(y – n) 0 0 –

a 2

b 2

= 1 ．

2

(y – n) = 2 p(x – m)上，过点 结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 M 作抛物线的切线方

2

程为 (y0 – n)(y – n) = p(x + x0 – 2m)．

结论 16：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆

(x – m) +

2(y – n)2

b 2

(x– m)(x – m) ( y0 – n)( y – n)

切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 0 + = 1．

a

2

= 1外，过点 M 作椭圆的两条切线，

2

a 2

结论 17：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 (x – m) –

2

(y – n)

2

b 2

= 1外，过点 M 作双曲线的两

条

a

b 2

切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

0 (x – m)(x – m) (y – n)(y – n)

a 2

– 0

2

b 2

= 1 ．

(y – n) = 2 p(x – m)外，过点 结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 M 作抛物线的两条切

线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

(y0 – n)(y – n) = p(x + x0 – 2m)．

结论 16：（补充）点 M （ x0 ， y0

2(y – n) (x – m)

）在椭圆 + = 1内，过点 M 作椭圆的

2a 2

b 2

弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为

(x – m)(x – m) ( y – n)( y – n) 0 0 直线： += 1．

a 2 b 2 x0 ， y0 ）在双曲线 结论 17：（补充）点 M （

–

= 1内，过点 M 作双曲

a 2

b 2

(x – m)2 (y – n)2

线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨 迹方程为直线： 0

(x – m)(x – m) (y – n)(y – n) 0

–

a 2

b 2

= 1 ．

2

(y – n) = 2 p(x – m)内，过点 M 作抛物线 结论 18：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线

的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

(y0 – n)(y – n) = p(x + x0 – 2m)．

结论 19：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直 线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB

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的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 21：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线必过焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 22: AB 为椭圆的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 23: AB 为双曲线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 24: AB 为抛物线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在准线上． 结论 25:点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ， 则切点弦 AB 就是通径． 结论 26: 点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是通径． 结论 27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是其通径． 结论 28：过抛物线 y 2 = 2 px （ p > 0 ）的对称轴上任意一点 M (–m,0) （ m > 0 ）作抛物 线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 N (m,0) ．

结论 29：过椭圆 x + y = 1（ a > b > 0 ）的对称轴上任意一点 M (m, n) 作椭圆的两条切

2

2

a 2 b 2 线，切点分别为 A ， B ．

a2

（1）当 n = 0 ， m > a 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( ,0) ；

m

2 b

AB （2）当 m = 0 ， n > b 时，则切点弦 所在的直线必过点 Q(0, ) ．

n

2 2 x y 结论 30：过双曲线 –

= 1（ a > 0, b > 0 ）的实轴上任意一点 M (m,0)（ m < a ）作

a 2 b 2

a2

A B AB 双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 ，，则切点弦 所在的直线必过点 P( ,0) ．

m

结论 31：过抛物线 y 2 = 2 px（ p > 0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，

B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．

2 2 x yx y = 1 （ a > b > 0 ）与双曲线 – = 1（ 结论 32：若椭圆 + m > 0 ， n > 0 ）共

a 2 b 2 m 2 n 2

焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．

结论 33：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，则满足 AP · BQ = AQ · BP 2

2

的动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 34：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 AP · BQ = AQ · BP

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