北京市2020年高考物理专题10 带电粒子在磁场中的运动压轴大题几个增分策略(解析版)

“强基计划”尖子生的自我修养系列

电磁学压轴大题增分策略(一)——解决带电粒子在磁场中运动的三种思想方法

带电粒子在匀强磁场中的运动常常命制压轴大题，涉及的题型通常有磁场区域最小面积的求解，“数学圆”模型在电磁学中的应用，“磁发散”和“磁聚焦”等问题。三种题型分装在三节课时中，本节课则通过对近年高考及各地模拟题的研究，阐述应用对称法、临界极值法、递推法解决带电粒子在磁场中运动的问题。

对称法的应用 利用对称性解决物理问题能大大简化解题步骤。物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法一般来讲，当研究对象在结构或相互作用上、物理过程在时间和空间上以及物理量在分布上具有对称的特征时，宜采用对称法进行解决。

[例1] (2015·山东高考)如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的d

两平行金属板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m、电量为＋q的粒子由小孔下方处静止释

2放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。

(1)求极板间电场强度的大小；

(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；

2mv4mv

(3)若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子

qDqD运动的路程。

[审题指导] 解决此题时要从以下几个方面进行思考 (1)粒子在电场中的加速问题怎么解决(利用动能定理)。

(2)粒子运动轨迹与小圆相切时的两种情况(外切和内切)下如何通过几何关系寻找粒子做圆周运动的半径(利

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用粒子在磁场中运动轨迹的对称性)。

(3)如何寻找粒子在两磁场中运动一段时间后再次回到H点时的运动轨迹(利用粒子在磁场中运动的重复性)。 【解析】(1)设极板间电场强度的大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得 d1qE＝mv2

22mv2

由①式得E＝。

qd

① ②

(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得 v2

qvB＝m R

③

如图甲所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况。若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得

DR＝ 4联立③④式得 4mvB＝ qD

若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得 3DR＝

4联立③⑥式得 4mvB＝。

3qD

⑦ ⑥ ⑤ ④

(3)设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区磁感应强度的大小分别为

2mv4mvB1＝、B2＝ qDqD由牛顿第二定律得 v2v2

qvB1＝m，qvB2＝m

R1R2代入数据得

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⑧

DDR1＝，R2＝ 24

⑨

设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做周围运动的周期分别为T1、T2，由运动学公式得 2πR12πR2

T1＝，T2＝

vv

⑩

据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为α，由几何关系得

θ1＝120° θ2＝180° α＝60°

? ? ?

粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得

t1＝t2＝

360°θ1×2×T， α360°1360°θ2

×Tα360°2

? ?

设粒子运动的路程为s， 由运动学公式得 s＝v(t1＋t2)

联立⑨⑩??????式得 s＝5.5πD。

?

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?

mv24mv4mv

【答案】 (1) (2)或 (3)5.5πD

qdqD3qD

临界与极值法的应用 电磁学中的临界、极值问题是高考命题的热点，难度往往较大，尤其是在分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的这类问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端(如极大、极小；最上、最下；最左、最右等)，结合相应的物理规律分析出临界条件，列出相应方程求解。 [例2] 如图所示，一平行板电容器两极板水平相对放置，在两极板的正中心上各开一孔，孔相对极板很小，因此不会影响两极板间的电场分布。现给上下两极板分别充上等量的正负电荷，上板带正电、下板带负电，3mg

使两极板间形成匀强电场，电场强度大小为E＝。一根长为L的绝缘轻质硬杆上下两端分别固定一带电

q金属小球A、B，两球大小相等，且直径小于电容器极板上的孔，A球带负电QA＝－3q，B球带正电QB＝＋q，两球质量均为m。将“杆—球”装置移动到上极板上方，保持竖直，且使B球刚好位于上极板小孔的中心处、球心与上极板在一平面内，然后由静止释放。已知带电平行板电容器只在其两极板间存在电场，两球在运动过程中不会接触到极板，且各自的带电荷量始终不变。忽略两球产生的电场对平行板间匀强电场的影响，两球可以看成质点，电容器极板厚度不计。重力加速度取g。

(1)求B球刚进入两极板间时，“杆—球”装置的加速度大小a。

L

(2)若以后的运动过程中，发现B球从下极板的小孔穿出后，刚好能运动的距离，求电容器两极板的间距d。

2(3)A、B两球从开始到最低点的运动过程中，硬杆上所产生的弹力始终是拉力，则拉力最大值是多大(静电力常量为k)?

【解析】(1)以AB系统为研究对象， 有qE＋2mg＝2ma，

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