5
可以得到：a＝g。
2
(2)①从开始到A刚进入两极板间有：v12＝2aL， 得v1＝5gL
②A进入两极板间到B即将穿出下孔， 有：qE＋2mg－3qE＝2ma2 得a2＝－2g，v22－v12＝2a2s
7
③B穿出下孔后，有2mg－3qE＝2ma3，得a3＝－g
2L
0－v22＝2a3×
2
311
联立解得s＝L，所以，两极板间距d＝s＋L＝L。
88(3)B球刚进入电场时，以A球为研究对象， 3kq2
有：T1＋mg＋2＝ma，
L33kq2
得T1＝mg－2
2L
A球刚进入电场时，以B球为研究对象， 3kq2
有：T2＋2－mg－qE＝m|a2|
L3kq2
得T2＝6mg－2
L
B球刚离开电场时，以B球为研究对象， 3kq2
有：T3＋2－mg＝m|a3|，
L93kq2
得T3＝mg－2
2L
3kq2
所以，最大拉力为T2＝6mg－2。
L5113kq2
【答案】 (1)g (2)L (3)6mg－2 28L
递推法的应用 递推法是根据具体问题，建立递推关系，再通过递推关系求解问题的方法，即当问题中涉及相互联系的物
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体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式具体步骤是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广；最后结合数学知识求解。 方法应用：
(1)建立递推关系——利用物理规律导出第一次相互作用中(或者第一个过程中)物理量之间的关系或相邻两次作用中的递推关系式；
(2)递推关系有何性质——寻找规律，得出第n次相互作用的递推关系； (3)如何求解递推关系——结合数学知识(如数列)求解。
[注意] 递推法可以分为顺推法(从已知条件出发，逐步推出要解决的问题)与逆推法(从问题出发逐步推到已知条件)。
[例3] (2015·天津高考)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn；
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。
[审题指导] 粒子在交替存在的电场、磁场中的运动，是高考的热点：处理的方法是分段考虑带电粒子在电
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场、磁场中的运动，可以从动力学角度(牛顿运动定律及运动学公式)或能量角度(动能定理)建立方程，寻找递推关系。
【解析】法一：(1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。 由动能定理，有 1
2qEd＝mv22
2由①式解得 v2＝2
qEd m
② ①
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有 v22
qv2B＝m
r2由②③式解得 2r2＝ B
mEd
。 q
④ ③
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数，下同)。 1
nqEd＝mvn2
2vn2
qvnB＝m
rn
⑤ ⑥
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有 vn－1sin θn－1＝vnsin αn 由图甲看出
⑦
rnsin θn－rnsin αn＝d 由⑥⑦⑧式得
rnsin θn－rn－1sin θn－1＝d
⑨ ⑧
由⑨式看出r1sin θ1，r2sin θ2，…，rnsin θn为一等差数列，公差为d，可得 rnsin θn＝r1sin θ1＋(n－1)d 当n＝1时，由图乙看出
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⑩
r1sin θ1＝d 由⑤⑥⑩?式得 sin θn＝B
nqd。 2mE
? ?
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则 π
θn＝，sin θn＝1。
2
q′
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子
m′q′q
穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn′，由于＞ m′m则导致sin θn′＞1
说明θn′不存在，即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。 法二：(1)与解法一相同(略)。
(2)设粒子在第1层磁场中运动的半径为r1，速度为v1，离开磁场时速度与水平方向的夹角为θ1 由图丙看出r1sin θ1＝d
⑤
1qEd＝mv12
2v12
qv1B＝m
r1
⑥ ⑦
设粒子在第2层磁场中运动的半径为r2，速度为v2，进入磁场时速度与水平方向的夹角为α2，离开磁场时速度与水平方向的夹角为θ2 由图丁可知，r2sin θ2－r2sin α2＝d
⑧
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