LL
由几何关系可得r3＋r3sin 30°＝，得r3＝，
23qBr3qBL
则vmin＝＝，
m3mqBLqBL
所以＜v0≤。
3mm
qBLqBLqBL【答案】(1) (2)＜v0≤ 2m3mm
4.如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径； (2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
v2mv
【解析】(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝m，则r＝。
rBq
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子φmaxR1
运动的时间最长，sin＝＝，即φmax＝60°。
2r2
【答案】(1)见解析 (2)60°
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5.如图所示，磁感应强度大小为B＝0.15 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R＝0.10 m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟很大的荧光屏MN相切于x轴上的A点。置于q
原点的粒子源可沿x轴正方向以不同的速度射出带正电的粒子流，粒子的重力不计，比荷＝1.0×108 C/kg。
m
(1)请判断当粒子分别以v1＝1.53×106 m/s和v2＝0.53×106 m/s的速度射入磁场时，能否打到荧光屏上？ (2)要使粒子能打在荧光屏上，求粒子流的速度v0的大小应满足的条件。
(3)若粒子流的速度v0＝3.0×106 m/s，且以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离。
【解析】(1)粒子以不同速度射入磁场的轨迹如图所示，由几何知识得当粒子做圆周运动的半径r＞R时，粒子沿图中①方向射出磁场能打到屏上，当粒子做圆周运动的半径r≤R时，将沿图中②③方向射出磁场，不mv12能打到屏上。当粒子速度为v1时，由洛伦兹力提供向心力，得qv1B＝，解得r1＝3R＞R，故能打到屏
r1上；同理得，当粒子的速度为v2时，解得r2＝
3
R＜R，故不能打到屏上。 3
(2)设当v0＝v3时，粒子恰好打不到荧光屏上，则这时粒子沿图中轨迹②从磁场的最高点竖直向上射出磁场。v32由此可知，粒子在磁场中的轨道半径r3＝R。又由洛伦兹力提供向心力得qv3B＝m，解得v3＝1.5×106 m/s。
r3由题意可知，当v0＞1.5×106 m/s时，粒子能打到荧光屏上。
(3)设速度v0＝3.0×106 m/s时，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r4，由洛伦兹力提供向心力得v42
qv4B＝m，解得r4＝2R。如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹就是以E点为圆心，以r4为半径的一段圆
r4弧。因圆形磁场以O为轴缓慢转动，故磁场边界变为以O为圆心，以2R为半径的圆弧ABE，当A点恰转至B点，此时粒子的出射点为B，偏角α最大，射到荧光屏上P点离A点最远。
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由几何知识得
AP＝CA·tan α＝(2R－r4 tan 30°)tan 60°＝
3－1
m。 5
3－1
m 5
电磁学压轴大题增分策略(三)——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点
带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。
【答案】(1)v1能，v2不能 (2)v0＞1.5×106 m/s (3)
带电粒子在圆形磁场中的发散运动 不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度方向都相同。 例如：当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。
[例1] 真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切
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线，如图所示。从O点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？
【解析】如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何值，入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组成边长为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。
【答案】 见解析
[例2] 如图所示，真空中有一个半径r＝0.5 m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B＝2×103 T，方向垂直于纸面向外，在x＝1 m和x＝2 m之间的区域内有一个方向沿y轴正向的匀强电场区域，电场强度E＝1.5×103 N/C。在x＝3 m处有一垂直x轴方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出q
速率相同的比荷＝1×109 C/kg，且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y轴正方向
m射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：
－
(1)沿y轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间；
(2)速度方向与y轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；
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