5.1平面向量的概念及其线性运算
考情分析
平面向量的线性运算，共线问题独立命题较少，多与平面向量基本定理、坐标运算及数量积应用相结合，属中低档题，题型多为选择题、填空题。 基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量．注意向量和数量的区别，向量常用有向线段来表示．
r(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，零向量的方向是任意的.
uuur(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是±
uuurABuuur)． |AB|(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． (5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零的向量，向量a,b叫做平行向量，记
rrrr作：a//b，规定零向量和任何向量平行．
注意：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线
uuuruuur重合；③平行向量无传递性；④三点A、B、C共线?AB,AC共线．
(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量．a的相反向量是－a. 2．向量的表示方法
uuur(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后．
(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等． 3．向量的线性运算
（1）向量的加法：求两个向量的和的运算，叫向量的加法．
向量加法满足交换律a＋b＝b＋a、结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则(即首尾相接，连首尾)．
(2)向量的减法：与向量a方向相反且等长的向量，叫做a的相反向量，记为－a，a＋(－a)＝0；向量a加上向量b的相反向量，叫做向量的减法，即向量a减去向量b.向量减法可以使用三角形法则，即“共起点，连终点，方向指向被减向量”． 4．实数与向量的积
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|， (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
r当λ＝0时，λa＝0，注意：λa≠0.
运算律： ?(μa)＝（?μ）a． (?＋μ) a＝?a＋μa ?(a＋b)＝?a＋?b
1
5．向量平行(共线)的充要条件： a∥b?a＝λb(b≠0). 6．向量垂直的充要条件： a⊥b? |a＋b|＝|a－b|。 7．向量中的一些常用的结论
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用． (2)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别地，当a、b同向时|a＋b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a－b|；当a、b反向时|a－b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a＋b|；当a、b不共线?||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|(这些和实数比较类似)． 注意事项 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
2.(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 题型一 平面向量的概念
【例1】下列命题中正确的是( )．
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行
解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C. 答案 C
【变式1】 给出下列命题：
→→
①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ②若a＝b，b＝c，则a＝c；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析 ①②正确，③④错误． 答案 ①②
题型二 平面向量的线性运算
uuuruuuruuur【例2】2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( )
uuuruuurA．PA＋PB＝0
uuuruuurB．PC＋PA＝0 ruuuruuuruuuD．PA＋PB＋PC＝0
ruuuruuuC．PB＋PC＝0
uuuruuurruuuruuuruuu解析：如图，根据向量加法的几何意义BC＋BA＝2BP?P是AC的中点，故PA＋PC＝
2
0.
答案：B
→→→→→
【变式2】 在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝ ( )． 2152
A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333
→→→→→→解析 ∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2(AC－AD)， →→→∴3AD＝2AC＋AB
1→2→1→2
∴AD＝AC＋AB＝b＋c.
3333答案 A
题型三 共线向量定理及其应用
uuuruuuruuur【例3】设向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列
结论：①A、B、C共线；②A、B、D共线；③B、C、D共线；④A、C、D共线，其中所有正确结论的序号为________．
uuuruuuurruuurruuuuuruuu解析：AC＝AB－CB＝4e1＋2e2，BD＝CD－CB＝3e1，由向量共线的充要条件b＝
λa(a≠0)可得A、C、D共线，而其他λ无解．
答案：④
→→
【变式3】已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，
C三点共线的充要条件是( )． A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
→→→→
解析 由AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：AB＝t AC，所以λa??λ＝t，
＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得?
??1＝tμ，
所以λμ＝1.故选D.
答案 D
巩固提高 一、选择题
1
1. 设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝( )
3A. －1 1
C. －
3答案：D
B. 3 1D. 3
3
11
解析：∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1
33111
＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.
3332. 给出下列命题：
→→
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量一定是共线向量． 其中不正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：A
→→
解析：对于④，在△ABC中，BA与CA有公共终点A，但不是共线向量，故④错．①②③正确，故选A.
→→→→→
3.若四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是( ) A. 直角梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 答案：B
→→→→
解析：由AB＋CD＝0知，AB＝DC，
即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． →→→→→
又(AB－AD)·AC＝0，∴DB·AC＝0，即AC⊥BD， 因此四边形ABCD是菱形，故选B.
→→→
4.设M是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BM，则( ) →→→→
A. MA＋MB＝0 B. MC＋MA＝0 →→→→→
C. MB＋MC＝0 D. MA＋MB＋MC＝0 答案：B
→→→
解析：∵BC＋BA＝2BM， →→→→→∴MC－MB＋MA－MB＝2BM， →→→→
即MA＋MC＝2BM＋2MB＝0.
→→→→→→→
5.非零不共线向量OA，OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )
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