彩票问题 - 图文

彩票问题

摘要

本文以彩票方案为研究对象，对彩票的获奖概率及彩票方案的合理性进行分析，并在此基础上，设计了一种更好的方案，对彩票管理部门和彩民提出相应的建议，主要内容如下：

对于问题一，将方案分为4类，分别为：10选6+1型、m选n型有特别号型、m选n无特别型和m选n?1有特别号型。通过古典概型，运用排列组合的方法，计算出各方案的获奖概率。对于合理度这个模糊的概念，涉及的因素众多，主要包括：单张彩票的期望收益E、中奖概率P和对奖金的分配Y，我们将其量化，运用基于层次分析法的模糊综合评价模型，求解权重，最终构建合理度函数：

Q?d1E+d2P+d3?fiyi

i=17将数据带入，求得方案的满意度，得出满意度较高3个方案的为：23方案，满意度为0.213797；10方案，满意度为0.200922；7方案，满意度为0.196575。最后通过主层次分析法检验合理度函数对本问题的正确性，从而验证所求方案的合理性。

对于问题二，我们在问题一的基础上，对满意度较高具有普遍性的10方案进行优化，运用非线性规划模型设计一种“更好”的彩票方案，将合理度作为目标函数，列出约束条件，运用Lingo软件求得最优方案为：31选7，其一、二、三等奖的比例分别为0.8、0.003、0.17，四、五、六、七等奖的金额分别为726、71、33、14元。并在此基础上对彩票机构提出相关建议。

最后根据我们的研究，对彩民的购彩心理和注意事项进行分析，建议彩民根据自己的经济实力，讲究投注的科学性，端正心态，理性购彩。

关键词 古典概型 模糊综合评价 合理度函数 非线性规划

一、问题重述

1.1问题背景与条件

近年来，“彩票飓风”席卷中华大地，巨额的奖金设置使得越来越多的人加入到“彩民”的行列中去 ，可以说彩票问题关系着全国的千家万户，但是由于各地彩票的规则、奖项设置和设奖的比列都不尽相同，并且很多地区对彩票管理也不够规范。因此，政府的有关部门必须引起对彩票问题的重视，对目前的彩票市场的运作情况进行评价与分析，并将不足之处改进，本文就在此背景下，探究彩票问题。 1.2需要解决的问题

目前流行的彩票有“传统型”和“乐透型”两种。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，再从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。

表一 中 奖 10 选 6+1（6+1/10） 等 级 基 本 号 码 特说 明 别号码 一等奖 abcdef 选7中（6+1） g 二等奖 abcdef 选7中（6） 三等奖 abcdeX Xbcdef 选7中（5） 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中（4） 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3） 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2） “乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二 中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 33 选 7（7/33） 基 本 号 码 特别号码 ●●●●●●● ●●●●●●○ ★ ●●●●●●○ ●●●●●○○ ★ ●●●●●○○ ●●●●○○○ ★ ●●●●○○○ 说 明 36 选 6+1（6+1/36） 说 明 选7中（6+1） 选7中（6） 选7中（5+1） 选7中（5） 选7中（4+1） 选7中（4） 选7中（3+1） 基 本 号 码 特别号码 选7中（7） ●●●●●● ★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） ●●●●●○ ★ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选7中（5） ●●●●○○ ★ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选7中（4） ●●●○○○ ★ 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

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以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

二、模型假设

结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：

1、票摇奖是公平的，各号码的出现是随机的,不受外界的任何因素的影响； 2、假设每期奖金都可以分完，即不记奖池效应，并且暂不记税收的影响； 3、不考虑上述彩票购买方案中会修改的状况；

4、假设一期彩票的销售总额为1200万，卖出的彩票张数为600万。 5、彩民一举风险偏好程度分为“冒险型”和“稳健性”

三、符号说明及名词解释

为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。）（名词的假设） 符号 ki 说明 第i种彩票类型 权值 一致性指标 一致性比率 单张彩票的期望收益 第i种方案的中各奖项的总奖金额 二级判断准则间的权重 三级判断准则间的权重 第i种方案高项奖的比例 第i等奖的单注奖奖金 2

w CI CR E yi di fi ai xi

四、问题分析

本文主要的工作是分析一个彩票销售方案关于销售规则、奖项、奖金额设置的合理性及设计一种“更好”的彩票方案，并在此基础上对彩票管理部门和彩民提出建议。

对于问题一，要求我们综合分析各种因素，评价题中给出的彩票购买方案的合理性。由于合理度是一个模糊的概念，所以我们将合理度量化，以便进行比较，而量化合理度必须以假设每期奖金都可以分完，即不记奖池效应，并且暂不记税收的影响为前提。在计算合理度之前，首先运用古典概型和排列组合的方法计算29个方案中各个奖项出现的可能性。分析题目可知，合理度取决于对彩民的吸引力和销售者的利润这两个方面，其中销售者利润为题目所给的销售总额的50%，而彩票对彩民的吸引力，主要包括三个方面：单张彩票的期望收益E、中奖概率P和对奖金的分配Y。其中判断矩阵我们根据权威部门调查问卷得知，通过层次分析法得出各自权重，由此建立模糊综合评价模型。带入数据，求出各方案的满意度，进行排序。。

对于问题二，要求我们在对前面常见的29中彩票销售方案的基础上，取长补短，设计一种“更好”的方案，要使彩民和销售公司都更为有利，也就是使方案的合理度最大。因此我们在第一问合理度函数的基础上建立非线性规划模型，求解更为合理的方案。第一题最优的三个方案中23号方案无特别号码不具有普遍性，因此我们选择具有普遍性并且排名第二的10号方案进行优化，根据题目所含信息确立约束条件，得到比较合理的方案，并在此基础上对彩票管理部门提出建议。

对于问题三，对彩民的购彩心理和注意事项进行分析，对彩民提出建议。

五、模型的建立与求解

经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。

5.1问题一的模型建立与求解

5.1.1 综合分析各种奖项出现的可能性

观察题目中表三已给出的29种彩票设置方案，归纳可得，彩票一共分为4种类型，分别为k1：“10选6+1”方案，如表三中的1?4方案； k2：n选m型，有特别号码，

k3：如表三中的5、有特别号码，如表三中的6、7?22、26?29方案；24?25n选m+1型，

方案；k4：n选m，无特别号，如方案中的23方案。接下来我们将分别对这4种类型的各种奖项出现的可能性进行计算，具体如下： （1）k1型：“传统型”中的“10选6+1”方案 彩票中奖号码一般由机器或由电脑随机产生，各种组合出现的概率是等可能的，故各期中奖号码出现的可能性是符合古典概型的。下面将通过排列组合的方法和古典概型概率计算方法来计算中奖率，结合题目并分析可知，在计算过程中，必须基于两个原则： 1、单注若以得到高级别的奖就不能再兼得低级别的奖，即我们在计算低级别的奖项概率时，要防止与高级别的奖项概率发生重合；2、在计算各个奖项时，要去除内部概率之间的重合部分。由此我们可以得到“传统型”中采用“10选6+1”方案时，各个等级的中奖概率如下：

1141 P=?P=?1251065106111112C9C10?C9C91C9P3=5??2 P4= 6101010

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