与立体几何有关的题型
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
2 求不规则立体图形的表面积与体积
【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【解】： [方法一]：
[思 路]：整体看待面积问题。
解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1， 所以，总计9×2+7×4=18+28=46。 [方法二]：
[思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积
解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。
[方法三]：直接数数。
[思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。
【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）． 求挖洞后木块的表面积和体积．
【解】：提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。 6个小洞内新增加面积的总和： 1×1×4×6＝24（平方厘米），
原正方体表面积：4×6＝96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：4－3
1×6＝58（立方厘米）．
答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．
【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
2
3
【解】： [方法一]：
[思 路]：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，
特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。
解：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+(共面积为24+1×4+(
1111×)×4+(×)×4，所以总224411111×)×4+(×)×4=29 22444[方法二]：
[思 路]：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为
1的正方体后，大正方体的表面积2
111×的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加22411了4个×的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积
4411111=24+1×4+(×)×4+(×)×4=29
22444又增加4个
[总 结]：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生
必须学会如何看待面积的变化。 3 水位问题
【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6÷2）．
62.172立方厘米＝62.172毫升 ＝0.062172升．
答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．
【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有
1容积的2水，现在向桶中投入边长为2厘米?2厘米?3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？
【解】：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：
（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.
4 计数问题
【例11】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？ 【解】：正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。
所以共有正方体 22＋4=26（个）。
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。
【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
【解】： 设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。一个甲种木块的体积是1*1*1=1；一个乙种木块的体积是2*2*2=8；一个丙种木块的体积是3*3*3=27。
3+2=5。则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。体积是5*5*5=125。 需要丙种木块1块，乙种木块1+1*2+2*2=7块。 甲种木块的体积是27，乙种木块的体积是8*7=56。 125-27-56=42。需要甲种木块42/1=42块。 1+7+42=50块。
5 三维视图的问题
【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。 例：
【解】：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典） 从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2； 从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2； 从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2； 隐藏着的面积有2cm2。
一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。
6 其他常考题型
【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？
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