§12.3 离散型随机变量的分布列、均值与方差
最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列． 2.了解超几何分布，并能进行简单应用． 3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题. 考情考向分析 以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档.
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值
xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X P
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
nx1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn ①pi≥0，i＝1,2，…，n；②?pi＝1.
i＝1
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X P 0 1－p 1 p 其中0 X P (1)均值 x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝n(xi－E(X))pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏 2 i＝1 离程度，并称其算术平方根D4．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. X为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝aD(X)．(a，b为常数) 5．超几何分布 CMCN－M一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝n CN(k＝0,1,2，…，m)，即 kn－k2 X P 0 CMCN－Mn CN0n－01 CMCN－Mn CN1n－1… … m CMCN－Mn CNmn－m其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N. 如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． * 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ ) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越 小，则偏离变量的平均程度越小．( √ ) 题组二 教材改编 2．设随机变量X的分布列如下： X P 则p为( ) 1111A.B.C.D. 63412答案 C 解析 由分布列的性质知，31 ∴p＝1－＝. 443．已知X的分布列为 1 1 122 1 63 1 34 1 65 p 1111 ＋＋＋＋p＝1， 12636 X P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7 A.B．4C．－1D．1 3答案 A 111 解析 E(X)＝－＋＝－， 263 －1 1 20 1 31 1 6E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 4．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3 解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3. 题组三 易错自纠 5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A．至少取到1个白球 C．取到白球的个数 B．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 2373
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