例1．用数学归纳法证明：
1111n． ???????2n?1??2n?1?2n?11?33?55?7请读者分析下面的证法： 证明：①n=1时，左边?1111?，右边??，左边=右边，等式成立． 1?332?13②假设n=k时，等式成立，即：
1111k． ???????2k?1??2k?1?2k?11?33?55?7那么当n=k+1时，有：
11111 ???????2k?1??2k?1??2k?1??2k?3?1?33?55?7?1??1??11??11?1??11???11?????????????????????? 2?335572k?12k?12k?12k?3????????????1?1?12k?2 1?????2?2k?3?22k?3??k?1k?1 ?2k?32?k?1??1这就是说，当n=k+1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n=k+1时．
11111??????
?2k?1??2k?1??2k?1??2k?3?1?33?55?7?k1?
2k?1?2k?1??2k?3??2k?1??k?1? 2k2?3k?1???2k?1??2k?3??2k?1??2k?3?
?k?1k?1 ?2k?32?k?1??1这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，
例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立，并证明你的结论．
分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性． 解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．
?a1?6?， ?a1?2a2?24?a?2a?3a?6023?1解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．
故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n=k时，等式成立，即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2) 那么当n=k+1时， a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．
例3．证明不等式1?12?13???1n?2n (n∈N)．
证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n=k时，不等式成立，即1?12?13???1k?2k．
那么当n=k+1时，
1?12?131???1k?1k?1
?2k?k?1?2kk?1?1k?1
?k??k?1??1k?1?2?k?1?k?1?2k?1
这就是说，当n=k+1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是
1?12?131???1k?1k?1?2k?1，当代入归纳假设后，就是要证明：
2k?k?1?2k?1．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．
分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时， a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除． 因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．
由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．
例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．
当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22． 当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32． 由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42． 由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2． 用数学归纳法证明如下： ①当n=2时，上面已证．
②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．
∴ f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2
∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧． 由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．
说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．
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