小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)

燕尾定理

例题精讲

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O， 那么，

S?ABO:S?ACO?BD:DC

AEOB

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

FDC

通过一道例题 证明燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1:S4?BD:DC；

三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；

三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；

综上可得， S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在

BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC【解析】 方法一：连接CF，

SBD1S△ABFAE根据燕尾定理，△ABF??，??1,

S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标

55所以SDCEF?S△ABC?

121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，

33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以

FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，

223232122115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．

32312

【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFFAEFAE

BDCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，

11所以S△ABE?S△ABC?10，S△ABD?S△ABC?15．

32SSAE1BD根据燕尾定理，△ABF??，△ABF??1,

S△CBFEC2S△ACFCD

1所以S△ABF?S△ABC?7.5，S△BFD?15?7.5?7.5，

4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5．

1 (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10，

3AFS△ABE1112??， S△BDE?S△BEC??S△ABC?10，所以

FDS△BDE1223111111 S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5，

223232

21 而S△CDE???S△ABC?10．所以阴影部分的面积为12.5．

32

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3，

AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEFBDCBFDCEEBDFC【解析】 连接CF，

S△ABFBD26SAE36???，△ABF???, S△ACFDC39S△CBFEC510根据燕尾定理，

设S△ABF?6份，则S△ACF?9份,S△BCF?10份，S△EFC?9?所以SDCFE?200?(6?9?10)?(5453份，S△CDF?10???6份，

3?582?34545?6)?8?(?6)?93(cm2) 88

【巩固】如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC

面积的几分之几？

AA11E24.5D1CEO9O213.5BDCB3

【解析】 连接CO,设S△AEO?1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC?1?2?9?18?30份，所以四部

12?4.5139313.59分按从小到大各占△ABC面积的, ?,?,?30306030103020

11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于

23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．

CCQX 【解析】 方法一：连接PQ．

11由于CP?CB，CQ?CA，所以S23CPBAQXBPQ41XA14PAB ．

211，?SS?S?SABQABCBPQBCQ32621由蝴蝶定理知，AX:XP?SABQ:SBPQ?SABC:SABC?4:1，

3644122所以SABX?SABP??SABC?SABC??6?2.4．

55255ABC

方法二：连接CX设S△CPX?1份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD?2DC，CE?2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分

的面积各是多少?

AEFBDCB68A1F24ECD

【解析】 连接CF，设S△AEF?1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

16282?42S△AEF?,S△ABF??,S△BDF?,SFDCE??

2121721217

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．

AAA1.6E2F2.412CDEFBDCBFDEBCSBD1S△ABFAE2【解析】 连接CF,根据燕尾定理，△ABF???, ?，

S△ACFDC2S△CBFEC3

设S△BDF?1份，则S△D份,S△EFC?4?所以S△ABCC?F2份，S△ABF?2份，S△AFC?4份，S△AEF?4?2?1 .62?33?2.4份,如图所标,所以SEFDC?2?2.4?4.4份,S△ABC?2?3?4?9份 2?3?22?4.4?9?45(cm2)

【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC?2，CD?2，CB?3，AM?BM，那么三角形AMN(阴影

部分)的面积为多少？

AMNCDBAMNCDB

【解析】 连接BN．

△ABC的面积为3?2?2?3

根据燕尾定理，△ACN:△ABN?CD:BD?2:1； 同理△CBN:△CAN?BM:AM?1:1

设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是1?1?2份，而△ACN的面积就是2?2?4份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为4?4?1?1?10份，所以△AMN的面积为3?10?1?0.3．