其二：开店。将全部资金投入运营。预测前3年每年盈余的数据如表： 年份 盈余
其三：注册公司。将已有资金另加贷款（年息 500 ）共计30万元全部投入运营。预测前3年每年盈余的数据如表： 年份 盈余 1 5万元 2 8万元 3 11万元 4 5 1 5万元 2 8万元 3 9万元 4 5
已知银行以复利计息。在不考虑任何其他因素的前提下，请你为老李作出一个最佳选择，并完成上两表空格（注：工资和盈余均以不存入银行计）。
解： 方案（一）： 返聘。
五年盈余：S1 = 0.3×0.7×12×5＋15 (1＋300 ) －15 = 14.98 (万
元)
y 方案（二）： 开店。
2
画散点图。可考虑模拟函数解析式：y = a x ＋bx＋c 代入已知数
据，
2
可得模拟函数解析式：y = －(x－3)＋9 ( x∈N+ ，且1≤ x ≤5 )
五年盈余：S2 = y1＋y2＋y3＋y4＋y5－15 (1＋300 )
o 。 。 x = 5＋8＋9＋8＋5－15 (1＋300 )
= 17.62 (万元)
方案（三）： 注册公司。
y 画散点图。可考虑模拟函数解析式： y = kx＋b 代入已知数据，
可得模拟函数解析式：y= 3x＋2 ( x∈N+ ，且1 ≤ x ≤ 5 )
五年盈余：S3 = y1＋y2＋y3＋y4＋y5－15 (1＋300 ) －15(1＋500)
= 5＋8＋11＋14＋17－15×1.03 －15×1.05 o ····· x = 18.49 (万元)
因为 S1 < S2 < S3 所以在不考虑任何其他因素的前提下，选择第三种方案好。 15、在平面直角坐标系内，已知三个点列{An},{Bn},{Cn},其中An(n,an),Bn(n,bn),
5
5
5
5
5
55
uuuuuuruuuuurCn(n?1,0),AnAn?1//BnCn,且点列{Bn}在斜率为6的直线上。
（1）试用a1,b1与n表示an(n?2);
（2）设a1?a,b1??a,在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，试求a的取值范围；
（3）设a?N,在（2）的条件下，证明：数列{an}中，最小项为a6与最小项为a7的概率相等。
*uuuuuuruuuuur解析：（1）∵AnAn?1?(1,an?1?an),BnCn?(?1,?bn),
uuuuuuruuuuur又∵AnAn?1//BnCn,∴1?(?bn)??1?(an?1?an),即bn?an?1?an,
∵点列{Bn}在斜率为6的直线上，∴kBnBn?1?6,即
bn?1?bn?6,
(n?1)?n∴bn?1?bn?6,即数列{bn}是首项为b1,公差为6的等差数列， ∴bn?b1?6(n?1),
故an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?L?(an?an?1)?a1?b1?b2?L?bn
1?a1?(n?1)b1?(n?1)(n?2)g6?3n2?(b1?9)n?6?a1?b1(n?2).
22（2）由a1?a,b1??a及（1），得an?3n?(a?9)n?6?2a,
因为二次函数f(x)?3x?(a?9)x?6?2a是开口向上，
2a?9的抛物线，在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最611a?915小项，则??,?24?a?36.
262对称轴为直线x? （3）证明：∵an?1?an?6n?(a?6),又30?a?6?42.
若6n?30,即n?5时，有an?1?an,从而有a1?a2?a3?a4?a5?a6, 若6n?42,即n?7时，有an?1?an,从而有a7?a8?a9?a10?L, ∴在数列{an}中最小项为a6与a7中较小者。 ∵a7?a6??a?30,又∵24?a?36且a?N, 故当a取24，25，26，27，28，29时，a6为最小项； 当a取30时，a6?a7为最小项；
当a取31，32，33，34，35，36时a7为最小项。
*故数列{an}中a6为最小项的概率为P1?77,a7为最小项的概率为P2?. 1313∴最小项为a6与最小项为a7的概率相等。
16、（本小题满分12分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱CC1上的一
点，且异面直线BE与A1C1所成角的余弦值为（1）求异面直线BE与AC的距离； （2）求直线BE与平面ACC1所成的角；
（3）（仅理科学生做）求平面ABE与平面AB1D1所成的锐二面角．
[解答]方法一：
取AF=CE?x，F∈AA1，连结EF、BF，则EF // AC， ∴∠BEF为BE与AC所成的角，且BE?BF?2325．
D1 C1
A1 B1 E
D C
A B
x2?1,EF?2.
EF2?BE2?BF2213∴cosBEF????.
222EF?BE2?2x?12x?125∴x2?111,x?(x??舍去). 933（1）取AC、EF中点O、O′，∵AC∥EF，∴AC∥平面BEF， 即AC与BE的距离为AC与平面BEF的距离，连结OO′、O′B、OB， ∵EF⊥OO′，EF⊥OB，∴EF⊥平面BOO′，平面BEF⊥平面BOO′， 作OG⊥BO′于G，则OG⊥平面BEF，∴OG为O到平面BEF的距离，
12?OO??BO3211??; ∴OG?BO?1111?29（2）BO⊥平面ACC1，∴∠BEO为异面直线BE与AC所成角，
22BO33535??2?2??∴sinBEO?，∴所求角为arcsin； BE101011010251?93322 （3）作EP//DC，交DD1于P，连结AP， 作A1H?AP于H，交AD于I，
则由平面几何知识易证得I满足条件AI?且由AB?平面ADD1，∴AB?A1H， ∴A1H?平面ABE，
即A1H是平面ABE的一个法向量，
又易知对角线A1C是平面AB1D1的一个法向量，
1AD， 3 D1 C1
A1 B1
E O/ F D G C O A B
∴A1C与B1H所成的角即为平面ABE与平面AB1D1所成的角．
在?A1IC中
2AC?A1I2?IC24101有cosIAC， ??12AC151?A1I
∴所求的二面角为arccos410． 15 D1 C1
A1 B1
E P
H D C I
A B
方法二：
以D点为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、 D（0，0，1）、E（0，1，z）
uuuruuur∴BE?(?1,0,z)，AC?(?1,1,0)，
uuuruuurcos?BE,AC??∴
1z?1?22?325，
uuur11解得z?，即BE?(?1,0,).
33rruuurruuurn?(x,y,z)（1）设111，且n?BE，n?AC， 1?r??x1?z1?0n3则?，取x1?1得?(1,1,3)，
??x1?y1?0?ruuurn113,,)，而BC?(?1,0,0)， ∴r?(|n|111111 D1 z C1
A1 B1 E D C y xA B uuurrBC?n?111所以异面直线BE与AC的距离d?|r|?|； |?11|n|11uuur（2）易知平面ACC1的一个法向量是DB?(1,1,0)，
uuuruuur?1?0?03∴cos?DB,BE????5，
1012?1?93即直线DB与AC所成的角为arccos5，
10从而直线BE与平面ACC1所成的角???2?arccos335?arcsin5； 1010uur（3）设平面ABE的一个法向量是n1?(x/,y/,z/)， uuruuuruuruuur则n1?AB，且n1?BE， uur同（2）理可取n1?(1,0,3)，
uuuur又易知向量A1C?(?1,1,?1)是平面AB1D1的一个法向量，
uuruuuuruuruuuurn?A1C?2ur1uuuur?30， ∵cos?n1,A1C??u15|n1|?|A1C|∴平面AB1D1与平面ABE所成的锐角??arccos230． 15n*
1 4
17、设数列{an}、{bn}满足an＞0、bn＞0且an＋bn＝n（n∈N）．①求M＝＋的最小值an bn（用n表示）．②设Sn＝a1＋a2＋……＋an，当M取得最小值时，求证：Sn＜2．③设Tn＝b1＋b2＋……＋bn，当M取得最小值时，求证：Tn>
n2＋n－4
2
．
1 1 4 1 1 anbnnn解：①由已知(an＋bn)＝1，则M＝(＋)·(an＋bn)＝(1＋4＋4·＋)
nnanbnnnbnan 1 (2+1) nnn≥(1＋4＋2·2)＝．当且仅当bn＝2·an时取等号．
n2
nn n n 1 n②当M取最小值时，an＋2·an＝n，此时an＝n＜n．因此Sn＝a1＋a2＋……＋an＜＋
2+122 2 n 1 2 n 1 1 2 n
＋2＋……＋n，则S＝2＋3＋……＋n＋1．两式相减2＋……＋n．令S＝
222222222 1 1 1 2 1 n 1 1 1 1 1
得S＝＋2＋3＋……＋n－n＋1＜＋2＋3＋……＋n＝1－n＜1．所以22222222222
S＜2即Sn＜2．
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