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2018年河南中考数学试卷及答案

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x2﹣x﹣6=0, (x﹣3)(x+2)=0, x1=3,x2=﹣2, ∴AC=3

②点C与点M重合时,如图4,同理得:∠AMB=90°,设BD=x,则AC=

x,

在Rt△AMB中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,

+(x+2)2=

x2+x﹣6=0,

(x+3)(x﹣2)=0, x1=﹣3,x2=2, ∴AC=2

或2

综上所述,AC的长为3

23.(11.00分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式;

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行

线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.

【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C(0,﹣5), 当y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B(5,0), 把B(5,0),C(0,﹣5)代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;

(2)①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1,x2=5,则A(1,0), ∵B(5,0),C(0,﹣5), ∴△OCB为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM⊥BC,

∴△AMB为等腰直角三角形, ∴AM=

AB=

×4=2

,解得

∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,AM∥PQ, ∴PQ=AM=2

,PQ⊥BC,

作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,则∠PDQ=45°, ∴PD=

PQ=

×2

=4,

设P(m,﹣m2+6m﹣5),则D(m,m﹣5), 当P点在直线BC上方时,

PD=﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=﹣m2+5m=4,解得m1=1,m2=4, 当P点在直线BC下方时,

PD=m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=m2﹣5m=4,解得m1=综上所述,P点的横坐标为4或

,m2=

②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2, ∵M1A=M1C, ∴∠ACM1=∠CAM1, ∴∠AM1B=2∠ACB,

∵△ANB为等腰直角三角形, ∴AH=BH=NH=2, ∴N(3,﹣2),

易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(,﹣), 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b, 把E(,﹣)代入得﹣

+b=﹣,解得b=﹣

∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣

解方程组得

,则M1(

,﹣);

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,

设M2(x,x﹣5), ∵3=∴x=

∴M2(

,﹣),

,﹣

)或(

,﹣).

综上所述,点M的坐标为(

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