考研数学三真题及答案

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用

设∫??????2??????=104,则??= 。 【答案】12。 【解析】

??∫????2??????=1??????∫??????2??=1????2??|?1∫0202020=(??2?12??14)??+4

可知(???1124)??2??=0，则??=2 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算

二次积分∫11????20????∫??(???????2)????= 。

【答案】

e?12

。

2??(11)??????(12)【解析】

二次积分的积分区域为

??={(??,??)|0≤??≤1,??≤??≤1}

={(??,??)|0≤??≤1,0≤??≤??}

交换积分次序得

1x????????22∫????∫(?????)????=∫????∫(?????)????

????0??00

10

1122=∫(????2??01

?∫????????)????=∫??0

2??210

??01

?????∫(∫????????)????

21

=∫??0

??2???????(??∫??0??210

????)|+∫??????????

0

210

=∫????21

?????∫??0

??21??21e?1

????+??|= 220【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系

(13)设二次型??(??1,??2,??3)=??12???22+2????1??3+4??2??3的负惯

性指数为1，则??的取值范围是 。 【答案】[?2,2] 【解析】

由配方法

??(??1,??2,??3)

=??12+2????1??3+??2??32?(??22?4??2??3+4??32)+4??32???2??32

=(??1+????3)2?(??2?2??3)2+(4???2)??32 负惯性指数为1，故4???2≥0，解得??∈[?2,2] 【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形

(14)设总体??的概率密度为

2??,??

0 , 其他

其中??是未知参数，??1,??2,?????为来自总体??的简单随机样本，若

22??(??∑????=1????)=??,则c= 。

【答案】

25?? 【解析】

??222 ??(??∑????=1????)=c∑??=1??????=????????=

????∫??2??2??????=??????2= ??2, 23??225解得c=

5?? 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

(15)求极限

[??∫1??21(?????1)???]????????????→+∞1??2?????(1+)?? 【解析】 【方法1】

[??2(?????1)???]????∫1??2ln(1+)1????1????????→+∞=

=????????→+∞1??2∫1[??(?????1)???]??????2?

1??1?? (等价无穷小代换)

=??????[??(???1)???] (洛必达法则)

2??→+∞ =??????+

??→0?????1?????2?????12?? (变量代换

1??=??)

=??????+

??→0 (洛必达法则)

=

21【方法2】

????????→+∞1??2[??(?????1)???]????∫1??2ln(1+)

1??=

=????????→+∞1??2[??(?????1)???]????∫1??2?

1??1?? (等价无穷小代换)

=??????[??(???1)???] (洛必达法则)

2??→+∞ =??????[??2(+

??→+∞??112!??2+??(

1??2))???] (泰勒公式)

=

21【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开

(16)设平面内区域??={(??,??)|1≤??2+??2≤4,??≥0,??≥0},计算

????????(??√??2+??2)????????? ??+????【解析】

【方法1】令??=??????????,??=??????????,

????????(??√??2+??2)

??+??2 ???????????=

∫0??2????????????????+??????????2????∫???????? ???????? 11

=∫0?????(????????? ????|2?????? ????????) 1+∫1????????+????????π

∫π0

3

π

2????????2 =?

????????????????+????????????