又I=∫0
??2π
2
????=∫0????????+??????????????????2sin??????????+???????????? 令??=
???) =∫
20所以???1
??????????+????????2????=4 ????????+????????????????=?
3??π
????????(??√??2+??2)
??+???
π4
=? 4
3
【方法2】
显然积分区域D关于??,??有轮换对称性，于是
????????(??√??2+??2)
??+??????????(??√??2+??2)
??+?????12
????????=??????????? ????????]
=[???1
????????(??√??2+??2)
??+??????????+???????????(??√??2+??2)
??+??2+??2)???????? =?????????????(√2??1
π
2
=∫????∫???????? ???????? 120
2
|=∫?????(????????? ?????????? ????????) 1+∫120π1
π
2
212=?
3???
π4
=? 4
3
【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分
(17)设函数??(??)具有连续导数，且??=??(????????????)满足
?????????????????????????????=(4??+????????????)???? 若??(0)=0,求??(??)的表达式。 【解析】
利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。 因为
??????=??′(????????????)????????????,
??????=???′(????????????)??????????所以
?????????????????????????????
=??????????′(????????????)????????????+??????????′(????????????)????=??′(????????????)????
因此?????????????????????????????=(4??+????????????′(????????????)????=(4??+????????????)????从而函数??(??)满足方程
??′(??)=4??(??)+?? 一阶线性非齐次微分方程??
?? )????化为
????????
可得方程通解为 ??(??)=??e4???由??(0)=0,解得 ??=
161??4
? 16
1
故 ??(??)=
116e4???
??4
? 16
1
【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解
??(18)求幂级数∑∞??=0(??+1)(??+3)??的收敛域及和函数
【解析】 【方法1】
??因为几何级数∑∞??=0??=
11???,且收敛域为??∈(?1,1)
??又∑∞??=0(??+1)(??+3)??
∞∞=∑(??+1)(??+2)????+∑(??+1)???? ??=0∞′′
??=0∞=(∑????+2)
??=0′′
+(∑????+1)′
??=0′
??2)=(
1?????′2?????21
)=[]++(
(1???)2(1???)21???3???=， ??∈(?1,1) (1???)3??由幂级数的逐项求导性质知∑∞??=0(??+1)(??+3)??的收敛域为
(?1,1)，和函数??(??)=(【方法2】
3???1???)3 ,??∈(?1,1)
??幂级数∑∞??=0(??+1)(??+3)??的系数????=(??+1)(??+3), 又
(??+2)(??+4)????+1??????=??????=1 ??→∞??→∞(??+1)(??+3)????所以收敛半径 ??=1
∞??()∑当??=1时，∑∞??+1(??+3)??= ??=0??=0(??+1)(??+3)发散；
∞??()∑当??=?1时，∑∞??+1(??+3)??=??=0??=0(??+1)(??+
3)(?1)?? 发散；
故收敛域为??∈(?1,1)
??设 ??(??)=∑∞??=0(??+1)(??+3)??，??∈(?1,1) 则 ??0∞??=00∞∞∞∫??(??)????=∑(??+3)????+1=∑(??+2)????+1+∑????+1 ??=0??′
??=0∞′??=0=[∑∫(??+2)????+1????]+
????=(∑????+2)+ 1???1?????=02?????2??3???2??2=+= (1???)21???(1???)2故和函数 ??(??)=[(
3???2??21???′
])2=(
3???1???)3 ,??∈(?1,1)
【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和
(19)设函数??(??),g(??)在区间[??,??]上连续，且??(??)单调增加，0≤
g(??)≤1。证明：
(I)0≤∫????g(??)????≤?????,??∈[??,??]; ??(II)∫??+∫??g(??)????????(??)????≤∫??????(??)g(??)????. 【解析】
(Ⅰ)由0≤g(??)≤1得
得0≤∫??g(??)????≤∫??????1????≤?????,??∈[??,??]； ??(Ⅱ)令??(??)=
∫??????(??)g(??)?????
∫??+∫??g(??)????????(??)????显然??(??)=0,只要证明??(??)单调增且??(??)≥0,
????′(??)=??(??)g(??)???(??+∫g(??)????)g(?? =g(??)[??(??)???(??+∫????g(??)????)] 由(Ⅰ)的结论0≤∫????g(??)????≤?????知，??≤??+∫????g(??)????≤??即
)
??
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