. .. ..
第一章 函数与极限 第一节 函数
○邻域（去心邻域）
U?a,????x|x?a???
U?a,????x|0?x?a???
第二节 数列的极限
○数列极限的证明
【题型示例】已知数列?xn?，证明xlim???xn??a 【证明示例】??N语言
1．由xn?a??化简得n?g???，
∴N???g?????
2．即对???0，?N???g?????，当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ∴limx???xn??a
第三节 函数的极限
○x?x0时函数极限的证明
【题型示例】已知函数f?x?，证明xlim?xf?x??A
0【证明示例】???语言
1．由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ∴??g???
2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴xlim?xf?x??A
0○x??时函数极限的证明
【题型示例】已知函数f?x?，证明limx??f?x??A
【证明示例】??X语言
1．由f?x??A??化简得x?g???， ∴X?g???
2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limx??f?x??A
极限存在准则及两个重要极限
○夹逼准则
第一个重要极限：limsinx?0x?1
x∵?x????0,??2??，sinx?x?tanx∴limsinxx?0x?1 . ... limx?0sinx?lim1lim1x?0x?0sinx??1 xxlim?sinx?x?0??x??（特别地，limsin(x?x0)x?x?1）
0x?x0
○单调有界收敛准则
x第二个重要极限：lim?x????1?1?x???e
（一般地，lim?glimg?f?x????x????limf?x????x?，其中
limf?x??0）
x?1【题型示例】求值：lim?2x?3?x????2x?1??
【求解示例】
x?1x?1解：lim?2?x?1x???2x?3??2x?1???lim?2x?1?2??x????2x?1???2xlim?1????1?2x?1??22x?12x?12x?1??x?1??22?22x?1??x?1??2xlim??1????1??2x?1???2?2??2xlim???1??????1?2x?1?????2x?12xlim?1????2??x?1???2??2x?1?lim?2??lim???2x?1??x?1???2??2x?1???e2x?1???????1?2x?1????lim??2x?2??e2x?1???2x?1???e1?e
第四节 无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质
函数f?x?无穷小?limf?x??0
函数f?x?无穷大?limf?x??? ○无穷小与无穷大的相关定理与推论
（定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为无穷大，则f?1?x?为无穷小；反之，若f?x?为无
穷小，且f?x??0，则f?1?x?为无穷大
【题型示例】计算：limx?x?f?x??g?x??0??（或x??） 1．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心?邻域U?x0,??是有界的；
（∵f?x?≤M，∴函数f?x?在x?D上有界；） 2．xlim?xg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小；
0 .c
. .. ..
（limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小；）
x??3．由定理可知lim??f?x??g?x????0
x?x0?2x?3?解：lim??x??2x?1??x?1?2x?1?2??lim??x???2x?1?2x?12???x?1?22x?1x?12???lim?1??2x?1???2x?1?2x?12x?1（lim??f?x??g?x????0）
x??无穷小量的阶
○等价无穷小（P65/P77）
2???lim?1??2x?1???2x?1?2x?1?lim???2????lim??1??2x?1????2x?1????2 ???x?1??
2??x?1?2x?13tanx?sinx~
x2(外加此公式)
（乘除可替，加减不行）
【题型示例】求值：limln?1?x??xln?1?x?x?0x2?3x
【求解示例】
解：因为x?0,即x?0,所以原式?limln?1?x??xln?1?x?x?0?lim?x2?3x
1?x??ln?1?x?x?0x?x?3??lim?1?x??xx?0x?x?3??limx?1x?0x?3?13【题型示例】求值limx?32?9
x?3x【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原
式?limx?3x?3x2?9?limx?311x?3?x?3??x?3??limx?3x?3?6 （其中x?3为函数f?x??x?3x2?9的可去间断点） 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 00解：limx?3?x?3??x?3x2?9?L?limx?3??lim1?1 x2?9??x?32x6○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）
（定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那
么，limx?xf?0???x????f???limx?x??x??0?? 【题型示例】求值：limx?3x?3x2?9 【求解示例】limx?3x?3x2?9?limx?3x?3x2?9?16?66
?2x?3?x?1【题型示例】求值：xlim????2x?1??
【求解示例】
. ... ?2x?1?????2?2??2x?1??22xlim?1????2x?1??x?1?????lim?1???2x?1???2x?1????e??e2xlim??1????2x?2?2x?1???e1?e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
xlim?xf?x??0?xlim?x0?f?x??f?x0?
○间断点的分类
第一类间断点（左右极限存在）??跳越间断点（不等）?可去间断点（相等）第二类间断点?????无穷间断点（极限为?）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
??e2x【题型示例】设函数fx???a?x ，x?0??x?0应该怎样选
择数a，使得fx?成为在R上的连续函数？
【求解示例】
?f?0???e2?0??e1?e1．∵???f0??a?0?????a
??f?0??a2．由连续函数定义xlim?0?f?x??xlim?0?f?x??f?0??e
∴a?e
闭区间上连续函数的性质 ○零点定理
【题型示例】证明：方程f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】
1．（建立辅助函数）函数??x??f?x??g?x??C在闭区间?a,b?上连续；
2．∵??a????b??0（端点异号）
3．∴由零点定理，在开区间?a,b?至少有一点?，使得
?????0，即f????g????C?0（0???1）
4．这等式说明方程f?x??g?x??C在开区间?a,b? .c
. .. ..
至少有一个根? 第二章 导数与微分
第一节 导数概念（导数公式表P111） ○高等数学中导数的定义及几何意义
x【题型示例】已知函数f?x????e?1 ，x?0在x?0?ax?bx?0处可导，求a，b
【求解示例】
0?f?0???e0??1．∵???f??0??e?11?e0?1?2?，????ff0? ???0??a?????b??f?0??e0?1?22．由函数可导定义??f???0??f???0??a?1???f?0???f?0???f?0??b?2 ∴a?1,b?2
【题型示例】求y?f?x?在x?a处的切线与法线方程 （或：过y?f?x?图像上点??a,f?a???处的切线与法线方程） 【求解示例】
1．y??f??x?，y?|x?a?f??a? 2．切线方程：y?f?a??f??a??x?a? 法线方程：y?f?a???1f??a??x?a? 第二节 求导的基本法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则 1．线性组合（定理一）：(?u??v)???u???v? 特别地，当????1时，有(u?v)??u??v? 2．函数积的求导法则（定理二）：(uv)??u?v?uv?
3．函数商的求导法则（定理三）：??u??u?v?uv??v???v2 ○反函数的求导
【题型示例】求函数f?1?x?的导数
【求解示例】由题可得f?x?为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且f??x??0；∴??f?1?x?????1f??x? ○复合函数的求导法则(P习题2.2) 【题型示例】设y?ln?earcsinx2?1?x2?a2?，求y?
【求解示例】
. ... 解：y????1?1earcsinx2?1?x2?a2???earcsinx2?x2?a2????1x2?1??x2?1??x2?a2????earcsinx2?1?x2?a2????arcsin?e?1???x2?1???2x2?a2?????2x???1????x2?1?2x2?12x?earcsinx2?1?x2?a2?earcsin?2?x2??2x2?a2??????1????earcsinx2?1?xxearcsinx2?1?x2?a2?x2?1?2?x2??x2?a2??
高阶导数 ○f?n??x????1?f?n??x????（或dny?d?n?1?y??dxn??1?） ?dx?n???【题型示例】求函数y?ln?1?x?的n阶导数 【求解示例】y??11?x??1?x??1， y??????1?x??1??????1???1?x??2， y????????1???1?x??2???3????1????2???1?x? ……
y?n??(?1)n?1?(n?1)！?(1?x)?n
第三节 隐函数及参数方程型函数的导数
○隐函数的求导（等式两边对x求导）
【题型示例】试求：方程y?x?ey所给定的曲线C：
y?y?x?在点?1?e,1?的切线方程与法线方程
【求解示例】由y?x?ey两边对x求导
即y??x???ey??化简得y??1?ey?y?
∴y??111?e1?1?e ∴切线方程：y?1?11??x?1?e?e? 法线方程：y?1??1?e??x?1?e?
○参数方程型函数的求导
【题型示例】设参数方程??x???t?，求d2y?y???t?dx2
.c
. .. ..
?dy??【求解示例】1.dydx????t????t?2.d2y??dx??dx2????t? 第四节 函数的微分
○基本初等函数微分公式与微分运算法则 dy?f??x??dx
第六节 微分学中值定理 ○罗尔定理
（1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间（a,b）可导 （3）f(a)=f(b)
则至少存在一点在（a,b）使f(x)可导 ○拉格朗日中值定理
【题型示例】证明不等式：当x?1时，ex?e?x 【证明示例】
1．（建立辅助函数）令函数f?x??ex，则对?x?1，
显然函数f?x?在闭区间?1,x?上连续，在开区间
?1,x?上可导，并且f??x??ex；
2．由拉格朗日中值定理可得，????1,x?使得等式
ex?e1??x?1?e?成立，
又∵e??e1，∴ex?e1??x?1?e1?e?x?e，
化简得ex?e?x，即证得：当x?1时，ex?e?x 【题型示例】证明不等式：当x?0时，ln?1?x??x 【证明示例】
1．（建立辅助函数）令函数f?x??ln?1?x?，则对
?x?0，函数f?x?在闭区间?0,x?上连续，在开区
间?0,??上可导，并且f??x??11?x； 2．由拉格朗日中值定理可得，????0,x?使得等式
ln?1?x??ln?1?0??11???x?0?成立， 化简得ln?1?x??11??x，又∵???0,x?， ∴f?????11???1，∴ln?1?x??1?x?x， 即证得：当x?1时，ex?e?x 第七节 罗比达法则
○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤 1．☆
等价无穷小的替换（以简化运算）
2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件
. ... A．属于两大基本不定型（
0?0,?）且满足条件，
则进行运算：limf?x?f??x?x?ag?x??limx?ag??x? （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）
B．☆
不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0??型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：lim?x?0x?lnx
【求解示例】
?1解：lim??lnx??x?0x??lnx?limlnxxx?01?L?limx?0?limx???1??x?0??1???x?x??2?x? ??1alimx?0x??0（一般地，limx???lnx??x?0?0，其中?,??R）
⑵???型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：lim??11?x?0?sinx?x??
【求解示例】 解：lim?11??x?sinxx?0??sinx?x???lim??x?sinx??x?sinx?
x?0???limx?0??x2??00?0?x?sinx??0L?limx?0?lim1?cosx?1?cosx???x2??x?02x?L?limx?0??limsinx2x??x?02?0 ⑶00型（对数求极限法） 【题型示例】求值：limxx?0x
【求解示例】
解：设y?xx,两边取对数得：lny?lnxx?xlnx?lnx1x?对对数取x?0时的极限：limlnx??x?0?lny??limlnx??x?01?L?limx?0?1??x??x??1?limx??limx?0，从而有limy?limelnylimlnyx?0?1x?0x?0x?0?ex?0?e0?1x2 ⑷1?型（对数求极限法）
1【题型示例】求值：limxx?0?cosx?sinx?
【求解示例】
.c
. .. ..
解：令y??cosx?sinx?,两边取对数得lny?ln?cosx?sinx?,xln?cosx?sinx?对lny求x?0时的极限，limlny?limx?0x?0x0?0ln?cosx?sinx???cosx?sinx1?0???lim?lim??1,从而可得L?x?0x?0cosx?sinx1?0??x?1xf??x? f?x? ? 0 极大值 ? 0 极小值 ? 4．∴函数f?x?的单调递增区间为???,1?,?2,???； 单调递减区间为?1,2?
【题型示例】证明：当x?0时，e?x?1 【证明示例】
1．（构建辅助函数）设??x??ex?x?1，（x?0） 2．???x??ex?1?0，（x?0） ∴??x????0??0
3．既证：当x?0时，e?x?1
【题型示例】证明：当x?0时，ln?1?x??x 【证明示例】
1．（构建辅助函数）设??x??ln?1?x??x，（x?0）
xxlimy=limelny?ex?0x?0x?0limlny?e1?e
⑸?0型（对数求极限法）
?1?【题型示例】求值：lim??x?0x??【求解示例】
tanx
?1?解：令y????x??1?,两边取对数得lny?tanx?ln??,?x???1??对lny求x?0时的极限，limlny?lim?tanx?ln???x?0x?0?x???lnx??lim??limx?0?1?L?x?0?1???????tanx??tanx?02sin2x???sinx02sinx?cosx?lim?lim?lim?0,x?0x?0xL?x?0x?1??tanx?lnx??1x??limx?0sec2x?tan2x
1（x?0） ?1?0，
1?x ∴??x????0??0
2．???x??3．既证：当x?0时，ln?1?x??x ○连续函数凹凸性
【题型示例】试讨论函数y?1?3x?x的单调性、极值、
凹凸性及拐点
【证明示例】
2??y???3x?6x??3x?x?2? 1．? ??y????6x?6??6?x?1???x1?0,x2?2?y???3x?x?2??0 2．令?解得：?
????x?1?y??6?x?1??023从而可得limy=limelny?ex?0x?0x?0limlny?e0?1○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路
0?00??0(2)(1)(3)?????????0??????1
???0??⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）
⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶ 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）
第八节 函数形态研究
○连续函数单调性（单调区间） 【题型示例】试确定函数f?x??2x?9x?12x?3的
32 3．（四行表） x (??,0) 0 (0,1) 单调区间
【求解示例】
1．∵函数f?x?在其定义域R上连续，且可导 ∴f??x??6x?18x?12
2(1,2) 2 (2,??) y? ? 0 ? ? 0 ? y?? ? ? ? ? y (1,3) 5 1 23 4．⑴函数y?1?3x?x单调递增区间为(0,1),(1,2)
单调递增区间为(??,0),(2,??)；
23 ⑵函数y?1?3x?x的极小值在x?0时取到，
1 为f?0??1，
极大值在x?2时取到，为f?2??5；
⑶函数y?1?3x?x在区间(??,0),(0,1)上凹，
在区间(1,2),(2,??)上凸； 函数y?1?3x?x的拐点坐标为?1,3?
2323x1?1,x2?2 2．令f??x??6?x?1??x?2??0，解得：
3．（三行表） x ???,1? 1 ?1,2? 2 ?2,??? 函数的极值和最大、最小值
. ... .c
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