◆ 乘数： ?a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ◆ 或
a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}
a?b?{ax?bx,ay?by,az?bz}
?a?{?ax,?ay,?az}
◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b??a，即
{bx,by,bz}??{ax,ay,az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
bxbybz ??axayaz五、向量的模、方向角、投影
设a?{ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角?、?、?（均大于等于0，小于等
于?）来表示它的方向，称?、?、?为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos?、cos?、cos?称为方向余弦。 1． 模
222a?ax?ay?az
2． 方向余弦
?a?MMcos??acos?12?x?222由性质1知?ay?M1M2cos??acos?，当a?ax?ay?az?0时，有
?a?M1M2cos??acos???z?aax?cos??x?22a?ax?ay?az2?ayay? cos????222aax?ay?az??aaz?cos??z?222a?a?a?axyz?◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos??cos??cos??1 ◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
222a0?aa?1a{ax,ay,az}?{cos?,cos?,cos?}
例：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与
M1M2同向的单位向量。
解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}
M1M2?(?1)2?12?(?2)2?2
211 cos???，cos??，cos???222
??2??3?，??，?? 33400设a为与M1M2同向的单位向量，由于a?{cos?,cos?,cos?}
即得
112a0?{?,,?}
2223． 向量在轴上的投影
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数?满足
??AB，且当AB与轴u同向时?是正的，当AB与轴u反向时?是负的，那么数?叫
做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即??AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则
AB??e
(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC?AB?BC (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OA?a，
OB?b，规定不超过?的?AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)
(4) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。
(5) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做
'''''?PrjuAB。
2．投影定理
性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角?的余弦：
PrjuAB?ABcos?
性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Prju(?a)??Prja
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。 作业：
第二节 数量积 向量积
教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂
直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式 2.向量平行、垂直的应用
教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式 2.向量平行与垂直的相应结论 教学内容：
一、数量积：
a) 定义：a?b?abcos?，式中?为向量a与b的夹角。 b) 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为
W?Fscos?
其中?为F与s的夹角。
2c) 性质：Ⅰ.a?a?a
Ⅱ.两个非零向量a与b垂直a?b的充分必要条件为：a?b?0 Ⅲ. a?b?b?a
Ⅳ. (a?b)?c?a?c?b?c Ⅴ. (?a)?c??(a?c) d) 几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}则
?为数
a?b?axbx?ayby?azbz
Ⅱ.投影表示式：a?b?aPrjab?bPrjba Ⅲ.两向量夹角可以由cos??a?b式求解 abe) 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求?AMB
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