即： 或：
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2
2222特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）x?y?z?R （2）线段的垂直平分面（平面方程）
例2：设有点A(1,2,3)和B(2,?1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程。
解：由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设M(x,y,z)是所求平面上的任一点，由于|MA|?|MB|，那么
?x?1?2??y?2?2??z?3?2化简得所求方程
??x?2?2??y?1?2??z?4?2
2x?6y?2z?7?0
研究空间曲面有两个基本问题：
（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
（2） 已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。 二、旋转曲面的方程
设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为
f（y，z）＝0
把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设M1(0,y1,z1)为曲线C上的任一点，那么有
f（y1，z1）＝0 （2）
当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点M(x,y,z)，这时z＝z1保持不变，且点M到z轴的距离
d?x2?y2?y1
将z1＝z，y1??x?y代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为
22f(?x2?y2,z)?0
旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角?（0°
z2?a2(x2?y2)
其中a?cot? 三、柱面
1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
定曲线C：准线
动直线L：母线
2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面。 3：几个常用的柱面：
b) 圆柱面：x?y?R（母线平行于z轴） c) 抛物柱面：y?2x（母线平行于z轴） 四、二次曲面 1、定义：
三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面 2、截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。 3、几种特殊的二次曲面 1． 椭球面
方程为
2222x2y2z2???1 a2b2c2
使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：
22?222?2?y?x?y?1?x2?z2?1??2?z2?1 ?2，?，?，这些交线都是椭圆。再看这曲面与平行2bcac??y?0?ab???z?0?x?0于坐标面的平面的交线：椭球面与平面z?z1的交线为椭圆
?x2y2?2?1??a22，同理与平面x?x1和y?y1的交线也是椭圆。?2(c?z12)b2(c2?z12)（|z1|?c）
c?c??z?z1椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面
例：椭圆抛物面方程为
x2y2??z 2p2q（p与q同号）
其形状如右图所示。
旋转抛物面方程为
（p >0）
x2y2??z 2p2p 双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
x2y2???z （p与q同号） 2p2q当p >0， q >0时，其形状如图所示。 2．双曲面
单叶双曲面方程为
x2y2z2?2?2?1 2abc双叶双曲面方程为
x2y2z2?2?2??1 2abc各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。
小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)。 作业：
第六节 空间曲线及其方程
教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分
作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点：1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学内容：
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。
?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：
?x?x(t)??y?y(t) ?z?z(t)?当给定t?t1时，就得到曲线上的一个点(x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
（3）
?F(x,y,z)?0 ??G(x,y,z)?0消去其中一个变量（例如z）得到方程
H(x,y)?0
（4）
曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。
此柱面（垂直于xoy平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为
相关推荐：
loading