八年级数学竞赛培优 一元二次方程的解法 含解析 

一元二次方程的解法

【思维入门】

1．若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是 ( ) A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0 C．x2－2x＋3＝0

D．x2＋3x＋2＝0

2．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为 ( ) b?2b2－4ac?

A.?x＋2a?＝4a2 ??b?24ac－b2?

B.?x＋2a?＝4a2 ??b?2b2－4ac?

C.?x－2a?＝4a2 ??b?24ac－b2?

D.?x－2a?＝4a2 ??

3．一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为____．

4．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝____． 5．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝____． ?2?

?x＋1－1?，其中x为方程x2＋3x＋2＝0的根． 6. 先化简，再求值：(x－1)÷??

【思维拓展】

7．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解为 A．x1＝－6，x2＝－1 C．x1＝－3，x2＝5

( )

B．x1＝0，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝2

8．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____．

9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0. (1)求出方程的根；

(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 10．某文献对分式方程验根的归纳如下：

“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应

如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题：

m－1x

已知关于x的方程－＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.

x－1x－1(1)求m和k的值；

(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．

【思维升华】

11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是

( )

B．3 D．0

A．2

C．2或3

12．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____． 13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____． 14．若x2－|2x－1|－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．

15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．

一元二次方程的解法

【思维入门】

1．若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是 ( B ) A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0 C．x2－2x＋3＝0

D．x2＋3x＋2＝0

2．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为 ( A ) b?2b2－4ac?

A.?x＋2a?＝4a2 ??b?24ac－b2?

B.?x＋2a?＝4a2 ??b?2b2－4ac?

C.?x－2a?＝4a2 ??b?24ac－b2?

D.?x－2a?＝4a2 ??

13．一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为__x1＝1，x2＝2__．

4．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2__． 5．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝__1__．

【解析】 ∵一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，∴a＋1≠0且a2－1＝0，∴a＝1.

?2?

?x＋1－1?，其中x为方程x2＋3x＋2＝0的根． 6. 先化简，再求值：(x－1)÷??x＋1?2－x－1???＝(x－1)·解：原式＝(x－1)÷＝－x－1.

－x＋1?x＋1?由x2＋3x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝－2.

当x1＝－1时，原式无意义，所以x1＝－1舍去． 当x2＝－2时，原式＝1.

【思维拓展】

7．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解为 A．x1＝－6，x2＝－1

( B )

B．x1＝0，x2＝5

C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝2

8．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__． 9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.

(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：(1)根据题意得m≠1，

Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4， ∴x1＝

2m＋2m＋12m－2

＝，x2＝＝1. m－1m－1m－1))2(2(

m＋12＝1＋， m－1m－1

2

是正整数，∴m－1＝1或2. m－1

(2)由(1)知x1＝

∵方程的两个根都是正整数，∴∴m＝2或3.

10．某文献对分式方程验根的归纳如下：

“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题： 已知关于x的方程

m－1x

－＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m. x－1x－1

(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．

m－1x

解：(1)∵将分式方程－＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，

x－1x－1解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解， ∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.

∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0. 解得k＝－5.

(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.

【思维升华】

11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是

( B )

A．2

B．3 D．0

C．2或3

12．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__． 13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__． 【解析】 易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，

(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，

而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)． 14．若x2－|2x－1|－4＝0，则满足该方程的所有根之和为__2－6__．

15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．

【解析】 ∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根， ∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0， 因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0， 可化为a－2 016＝0或a＋1＝0， 解得a1＝2 016，a2＝－1， 则a的值为2 016或－1.