《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

?复变函数与积分变换?期末试题（A）答案及评分标准

一．填空题（每小题3分，共计15分）

13?i； 3. 0 ； 4 .一级 ；5 .-1 ；1．??2k?,k?0,?1,?2?；2.ln2?

243?二．选择题（每题4分，共24分）

1． B 2． D 3． C 4．B 5． D

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，求

2222a,b,c,d.

解：因为f(z)解析，由C-R条件

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C2(z?1)z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

ez因为函数f(z)?在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2z共6页第 5 页

ezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2?2?i

z?0无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z15（3）．?dz

z?3(1?z2)2(2?z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理

z15?z?3(1?z2)2(2?z4)3dz??2?iRes[f(z),?] -----（5分） 11?2?iRes[f()2] ----（8分）

zz1()15111z f()2?211zzz(1?2)2(2?()4)3zz111f()2?有唯一的孤立奇点z?0, 2243zzz(1?z)(2z?1)11111Res[f()2,0]?limzf()2?lim?1 2243zzzz(1?z)(2z?1)z?0z?0z15??dz?2?i --------（10分）

z?3(1?z2)2(2?z4)3z(z2?1)(z?2)32(z?3)（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇3(sin?z)点？，如果有极点，请指出它的级. 解

：

z(z2?1)(z?2)3(z?3)2f(z)?的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?3(sin?z)（1）z?k,k3?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，

（2）z?0，z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， （3）z（4）z?3为f(z)的一级极点，

?2,?3,?4?，为f(z)的三级极点；

（5）?为f(z)的非孤立奇点。

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备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；

z2(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??

解：（1）当0?z?1?1

f(z)?111??[]? 2z(z?1)(z?1)(z?1?1)?1]??[?(?1)n(z?1)n]? 而[(z?1?1)n?0??(?1)nn(z?1)n?1

n?0?f(z)??(?1)n?1n(z?1)n?2 -------6分

n?0?（2）当0?z?1

111?f(z)?2??2=

z2z(z?1)z(1?z)?nz? n?0????zn?2 -------10分

n?0（3）当1?z??

11f(z)?2?z(z?1)z3(1?1)

z1f(z)?3z每步可以酌情给分。

?1n1()???n?3 ------14分 zzn?0n?0?六、（6分）求

f(t)?e????t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：

cos?t???td??e 22?2????0共6页第 7 页

?i?t解：F(?)??ee??????tdt (??0) --------3分

F(?)??e??0?i?tedt??e?i?te??tdt (??0)

0??0?t????e??0(??i?)tdt??e?(??i?)tdt (??0)

?e?(??i?)t???e(??i?)t0??i?????i? (??0)

0112?F(?)?? ? (??0) ------4分

??i???i??2??21??i?tf(t)?eF(?)d? (??0)- -------5分 ???2?1?2??????ei?t2?d? (??0) 22??????(cos?t?isin?t)d? (??0) ????2??21???2?????0cos?tid? ? ??2??2?sin?t????2??2d? (??0)

??f(t)?2?????0cos?td? (??0)， -------6分 22?????cos?t???td??e 22?2????0

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