专题七：数学阅读理解题研究
【题型导引】
题型一：新定义新概念问题的研究
新定义和新概念阅读理解题需要对阅读材料的阅读理解，然后进行合情合理的推理，结合本质进行归纳加工、猜想和联想，作出合情合理的判断和推理，解题的关键是明确定义的条件、原理、方法、步骤和结论。 题型二：阅读应用类型的问题
本类型重在结合给定的新概念或者定义进行正确理解，把握其存在的条件或者得到的结论，结合举例进行分析研究丙应用在其它类问题上的一种，关键是对概念的转化理解。 【典例解析】
类型一：出现新定义新概念问题的研究
例题1：规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是__________. ①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6； ②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7； ③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；
④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有2个交点．
【解析】 (1)认真阅读，正确理解[x]，(x)，[x)的含义；(2)运用规定对四种说法作出判断；(3)得出结论．当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝1＋2＋2＝5，故①错； 当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－3－2－2＝－7，故②正确；
若1＜x＜1.5，则方程4[x]＋3(x)＋[x)＝4×1＋3×2＋1＝11，故③正确； 当－1＜x＜1时，当－1 3 x＋1＝4x时，得x＝；当x＝0时，y＝4x＝0， 所以当－1 13 综上，说法正确的是②③. 技法归纳：这类阅读理解型题，它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．解此类型题的步骤有三：(1)认真阅读，正确理解新定义的含义；(2)运用新定义解决问题；(3)得出结论． 类型二：阅读应用类型的问题 例题2：在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上， 另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝－线”交于A，B两点(点A在点B的左 侧)，与x轴负半轴交于点C． (1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为____________ ______________，点A的坐标为__________，点B的坐标为____________； (2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标． 23243 x－x＋23与其“梦想直33 2 23243 【解析】：(1)∵抛物线y＝－x－x＋23， 332323 ∴其梦想直线的解析式为y＝－x＋， 33 2323 ?y＝－x＋，?33 联立“梦想直线”与抛物线解析式可得? 2343y＝－x－x＋2??33 2 3， ?x＝1，?x＝－2，? 解得?或?∴A(－2,23)，B(1,0)； ?y＝0.?y＝23，? (2)∵抛物线与x轴交于点C，∴C(－3,0)，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D，如图1， ①当点N在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”， 设N(0，n)，∵A(－2,23)，C(－3,0)， ∴AC＝13，∴AN＝AC＝13， 在Rt△ADN中，AD＋DN＝AN，又AD＝2，DN＝|n－23|， ∴4＋(n－23)＝13，解得n＝23－3或n＝23＋3， 设M(m,0)，当n＝23－3时，在Rt△MNO中，(23－3)＋m＝(m＋3)， 解得m＝2－23，当n＝23＋3时，在Rt△MNO中，(23＋3)＋m＝(m＋3)， 解得m＝2＋23，又－3 ②当点M在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”，此时M与O重合，在Rt△ADM中，AD＝2，DM＝23，∴tan∠AMD＝ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AD3 ＝，∠AMD＝30°， DM3 ∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°， 过点N作NP⊥x轴，在Rt△NMP中，MN＝CM＝3， 333?333?∴NP＝，OP＝，∴N?，?， 22?22? ?333? 综上所述，点N的坐标为(0，23－3)或?，?. ?22? 技法归纳：应用新知识解决问题，是近几年的常考题型．一般以高中的某知识点或结论为基础，通过对新知识、例题的理解，解决新的问题．要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤． 【变式训练】 1. （2018吉林）（5.00分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式=a+2ab﹣（a﹣b） （第一步） =a+2ab﹣a﹣b（第二步） =2ab﹣b （第三步） （1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ； （2）写出此题正确的解答过程． 解析：（1）该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因是 去括号时没有变号； 故答案是：二；去括号时没有变号； （2）原式=a+2ab﹣（a﹣b） =a+2ab﹣a+b =2ab+b． 2. （2019?湖南岳阳?3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x+2x+c有两个相异的不动点x1.x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（ ） A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C．c＜ 1 4D．c＜1 2 【解答】解：由题意知二次函数y＝x+2x+c有两个相异的不动点x1.x2是方程x+2x+c＝x的两个实数根， 且x1＜1＜x2， 整理，得：x+x+c＝0， 则?2 ?1?4c?0． ?1?1?c?0解得c＜﹣2， 故选：B． 3. （2019江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究： 如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图． 活动一 如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点 O重合．
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