因为DE//BF， 所以△PED~△PFB， 所以DE：BF=PD：PB=1:2, 所以AE=9-2.5=6.5.
综上所述，AE的长为5或6.5.
6. (2018·济宁)知识背景 当a＞0且x＞0时，因为?x－
??a?2aa?≥0，所以x－2a＋x≥0，从而x＋x≥2a(当x＝a时取等号)． x?
已知关于x的函数y＝x＋(a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当x＝a时，该函数有最小值为2a. 应用举例
44
已知函数y1＝x(x＞0)与函数y2＝(x＞0)，则当x＝4＝2时，y1＋y2＝x＋有最小值为24＝4.
axxx解决问题
(1)已知函数y1＝x＋3(x＞－3)与函数y2＝(x＋3)＋9(x＞－3)，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分，一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【解析】：(1)∵x>－3，∴x＋3>0，
2
y2y1
y2x＋32＋99∴＝＝(x＋3)＋≥29， y1x＋3x＋3
即≥6，
∴当x＋3＝9，即x＝0时，有最小值，最小值是6；
y2y1
y2y1
(2)根据题意，该设备平均每天的租赁使用成本为w元． 490＋200x＋0.001x490w＝＝0.001x＋＋200，
2
xx490?490 000?， ∵0.001x＋＝0.001?x＋?
x?
x?
490 000∴当x＝490 000＝700时，x＋有最小值，最小值是2490 000＝1 400，
x490
∴0.001x＋的最小值为1.4，
x即当x＝700时，w的最小值为201.4，
∴当x＝700时，该设备平均每天的租赁使用成本最低，最低是201.4元． 7. （2019?山东威海?8分）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于
，
，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则 ． （2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明（1）中的命题．
【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝
，BG＝
，DF＝，
∴+＞． +
＞． +
﹣＝
＝
，
故答案为：
（2）方法一：∵∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0， ∴∴
++
﹣＞0， ＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．
8. （2019江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x﹣x+1，y2＝﹣x﹣2x+1，y3＝﹣x﹣3x+1，下列结论正确的序号是 ①②③ ； ①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到； ③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等． 形成概念
（2）把满足yn＝﹣x﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，?n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接?nAn，Cn﹣1An﹣1，判断?nAn，
2
2
2
2
Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．
【解答】解：（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；①正确； ②y2＝﹣x﹣2x+1，y3＝﹣x﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣，
2
2
y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣
由x＝﹣
1， 2111向左移动得到x＝﹣1，再向左移动得到x＝﹣， 2222
②正确；
③当y＝1时，则﹣x﹣x+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣1； ﹣x﹣2x+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣2； ﹣x﹣3x+1＝1， ∴x＝0或x＝﹣3；
∴相邻两点之间的距离都是1， ③正确； 故答案为①②③；
22
nn2?4（2）①yn＝﹣x﹣nx+1的顶点为（﹣，），
242
nn2?4令x＝﹣，y＝，
24∴y＝x+1；
②∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数）， 当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k﹣nk+1，
∴纵坐标分别为﹣k﹣k+1，﹣k﹣2k+1，﹣k﹣3k+1，…，﹣k﹣nk+1，
2
2
2
2
2
2
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