交点，即OM≤2，所以dOM＝
|4a|1＋a2
≤2，解得－
33
≤a≤，于是a的取值范围是33
?－3，3?.
?33?答案：?－
?
33? ，33?x2y2
2．(2017·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，
abb为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
b
解析：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心
a|ba－a×0|ab
A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°
c22
b＋aab3bab223＝，即＝，所以e＝＝. c2c33
23答案：
3
3．(2019·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当|PQ|最小时，k＝________．
解析：由题意得，圆C1与圆C2外离，如图．因为PQ为切线，所以PQ⊥C2Q，由勾股定理，得|PQ|＝则需|PC2|最小．
显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，
此时，|PC2|＝|C1C2|－1，所以当|C1C2|最小时，|PC2|就最小，|C1C2|＝＝
2（k－2）2＋8≥22，
当k＝2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小． 答案：2
x2y24．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右支与焦
ab点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为________．
k2＋（－k＋4）2
|PC2|2－1，要使|PQ|最小，
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 ppp
AF＝y1＋，BF＝y2＋，OF＝，
222
pp
由AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4OF＝2p，得y1＋y2＝p.
22xy??a2－b2＝1，
联立?消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
??x2＝2py，2pb22pb2
所以y1＋y2＝2，所以2＝p，
aab21b2
即2＝，故＝， a2a2
2所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
22
答案：y＝±x
2
5．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上―→―→
任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是________．
解析：过点C作CH⊥l于H，因为C到l的距离CH＝332
＝>2＝r，所以直线l与
22
2
2
―→―→―→―→
圆C相离，故点P在圆C外．因为PA·PB＝|PA||PB|cos∠APB≤0，所以cos∠APB≤0，π?π?
所以≤∠APB<π，圆C上存在两点A，B使得∠APB∈?，π?，由于点P在圆C外，故当
2?2?π
PA，PB都与圆C相切时，∠APB最大，此时若∠APB＝，则PC＝2r＝22，所以PH＝
2PC2－CH2＝答案：14
6．设抛物线x2＝4y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足AF＝2，已知P为抛物线准线上任一点，当PA＋PF取得最小值时，△PAF外接圆的半径为________．
解析：由抛物线的方程x2＝4y可知F(0，1)，设A(x0，y0)，又由AF＝2，根据抛物线的p
定义可知AF＝y0＋＝y0＋1＝2，解得y0＝1，代入抛物线的方程，可得x0＝2，即A(2，1)．如
2图，作抛物线的焦点F(0，1)，关于抛物线准线y＝－1的对称点F1(0，－3)，连接AF1交抛物线的准线y＝－1于点P，此时能使得PA＋PF取得最小值，此时点P的坐标为(1，－1)，
2
1432??（22）2－＝，由对称性可得EFmax＝2PH＝14. 2?2?在△PAF中，AF＝2，PF＝PA＝5，
（5）2＋（5）2－223
由余弦定理得cos∠APF＝＝，
52×5×54
则sin∠APF＝.设△PAF的外接圆半径为R，
5
AF55
由正弦定理得2R＝＝，所以R＝，
4sin∠APF2即△PAF外接圆的半径R＝5
4
.
答案：54
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