态二次曲线，
012?1000u3u1u2u30?0,其对应的二级曲线方程为：
0102u1u2
展开行列式并化简便得线坐标方程为：4u1u2－u22=0
10、证明以u1u3－u22=0为线坐标方程的二次曲线，它的点坐标方程为4x1x3－x22=0 。
121Aij?0?10??041002，故为常态二级曲线，
000012x112?1000x20x3x1x2x30?0,证：u1u3－u22=0，
其对应的二阶曲线的方程为：
展开行列式并化简便得点坐标方程为：4x1x3－x22=0 。
11、证明以4u1u3－u22=0 为线坐标方程的二次曲线，它的点坐标方程为：x1x3－x22=0。
00020?Aij?0?10?4?0 证：已知二级曲线4u1u3－u22=0，二级曲线。
2，故为常态
0002?100x20x3x1x2x30其对应的二阶曲线的方程为：
2x1?0,
展开行列式并化简便得点坐标方程为：x1x3－x22=0 。 12、求下列二次曲线的秩，如果是变态的，试求其奇异点。 （i）2x12－x22+5x32－4x2x3+7x1x3－x1x2=0 （ii）2x12+3x22－x23+2x2x3－x3x1+ x1x2=0 （iii）x21+4x22+4x23－8x2x3+4x3x1－4x1x2=0
2D?aij??1272?1272?1?2?0?252?解：（i）为2.
，但
?1212?0?1，所以二次曲线的秩
2x12－x22+5x32－4x2x3+7x1x3－x1x2=0
可化为（x1－x2+x3）(2x1+x2+5x3)=0表两直线, 其交点(-2,-1,1)为奇异点。
2D?aij?121?211?22311??36?0?1 (ii) 的，无奇异点。
1D?aij??2?24?4 ∴秩为3，二次曲线为常态
2?4?04（iii）
2且任一二阶行列式皆为0，所以秩为1。
原方程x21+4x22+4x23－8x2x3+4x3x1－4x1x2=0，进行因式
分解可化为
（x1-2x2+2x3）2=0，即x1-2x2+2x3=0为两条重合直线，此直线上每点都是奇异点。
第七章 二次曲线的仿射性质
1、求二次曲线 x2+3xy-4y2+2x－10y=0的中心与渐近线。 解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
1D?aij?3213?4?5??36?021?50∴二次曲线为常态的，
设中心
(?,?),且??A31A,??32A33A33
3311117132??25而：A31?2??,A23??3?,A33?324?52?4?5?422
则中心为
(1426,?)2525
求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。 从X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y）（X－Y）=0.
1426X+4Y=(x－25)+4 (y+25)=0→5x+20y+18=0， 1426X－Y=(x－25)－(y+25)=0→5x－5y－8=0。
x2y2?2?12ab2、证明双曲线：的两条以λ
，λ'为斜率的直径成为共轭的
b22条件是λλ'=a
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