人教版A版高中数学选修2-3课后习题解答

人教版A版高中数学选修 2-3课后习答案

以在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为

3P(CB)?.

51解法2：在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为

P(CB)?n(BC)4?33??. n(B)4?5151解法3：在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为

4?3P(BC)52?513P(CB)???.

4?51P(B)5152?51说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.

2、设第1次抽出次品的时间为B，第2次抽出正品的事件为C，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC.

解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第

951次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为P(CB)?.

99解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为

P(CB)?n(BC)5?9595??. n(B)5?9999解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为

5?95P(BC)100?9995. P(CB)???5?99P(B)99100?99说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.

3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.

例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.

说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义. 练习（P55）

1、利用古典概型计算的公式，可以求得

P(A)?0.5，P(B)?0.5，P(C)?0.5，P(AB)?0.25，P(BC)?0.25，P(AC)?0.25，

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可以验证P(AB)?P(A)P(B)，P(BC)?P(B)P(C)，P(AC)?P(A)P(C). 所以根据事件相互独立的定义，有事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.

说明：本题中事件A与B相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B与C相互独立，事件A与C相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断. 2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3. （2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2. 说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.

3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A，乙地降雨的事件为B.

（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB，所以甲、乙两地都降雨的概率为

P(AB)?P(A)P(B)?0.2?0.3?0.06

（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB，所以甲、乙两地都不降雨的概率为

P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.56 （3）其中至少一个地方降雨的事件为(AB)(AB)(AB)，由于事件AB，AB和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为

P(AB)?P(AB)?P(AB)?0.06?0.2?0.7?0.8?0.3?0.44.

说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质. 4、因为A?(AB)(AB)，而事件AB与事件AB互斥，

利用概率的性质得到P(A)?P(AB)?P(AB) 所以P(AB)?P(A)?P(AB). 又因为事件A与B相互独立.

故 P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)(1?P(B))?P(A)P(B). 由两个事件相互独立的定义知A与B相互独立. 类似可证明A与B，A与B也都是相互独立的.

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说明：证明此题要求学生掌握概率的性质. 此题的结论是十分有用的，也是比较好理解的，比如事件A与B发生没有关系，当然与B不发生也应该没有关系. 5、例1 同时掷甲、乙两枚骰子，事件A表示甲骰子出现的是4点，事件B表示乙骰子出现的是4点，则事件A与事件B相互独立.

例2 从装有5个红球3个白球的袋子中有放回地依次任意摸出两个球，事件

事件B表示第2次摸到白球，则事件A与事件B相互独立. A表示第1次摸到红球，

说明：要求学生不但能判断两个事件是否相互独立，而且能举例说明什么样的两个事件是相互独立的，特别掌握在有放回抽样中，两次抽样的结果是相互独立的，这是二项分布的基础. 练习（P58）

1、用A表示抽到的这件产品的为合格品，Ai表示这件产品在第i道工序中质量合格，i?1， 2，3，4，5. 则A?A1A2A3A4A5，

P(A1)?0.96，P(A2)?0.99，P(A3)?0.98，P(A4)?0.97，P(A5)?0.96， 且A1,A2,A3,A4,A5相互独立. 所以

P(A)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)?0.96?0.99?0.98?0.97?0.96?0.867. 说明：本题主要考查学生应用教科书56页的公式（1）解决实际问题的能力. 这里的难点是如何把这件产品合格用各道工序的合格表达出来. 实际上，各道工序都合格等价于产品合格，因此事件“各道工序合格之交”就是产品合格.

2、将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数X服从二项分布，其分布列为

1P(X?k)?C5k()5，k?0，1，2，3，4，5.

2 用表格的形式表示如下： 1 2 3 4 5 X 0 15101051 P 252525252525说明：本题是最基本的二项分布的例子. 在写分布列时，如果是用第一种方式表示，一定要标出k的取值范围.

3、用事件B表示仅第1次未击中目标，事件Ai表示该射手第i次射击击中目标，

i?0，1，2，3，4，则B?A1A2A3A4，因为4次射击可以看成4次独立重复试验，

所以可以用

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页的公式（1）计算B发生的概率：

P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?(1?0.9)?0.9?0.9?0.9?0.0729.

说明：本题的关键是把4次射击看成4次独立重复试验，然后利用56页的公式（1）计算概率. 该题还可以修改成求4次射击都没有命中目标的概率，或者4次射击至少击中一次目标的概率. 4、例1 某同学投篮命中率为0.6，他在6次投篮中命中的次数X是一个随机变量，X～B(6,0.6).

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例2 在一次考试中有10道单选题，某同学一道题都不会，随机地选择答案，这10道单选题中答对的个数X是一个随机变量，X～B(10,0.25).

说明：希望学生不但能判断一个随机变量是否服从二项分布，而且能举出二项分布的例子，以加深对二项分布的理解. 习题2.2 A组（P59）

1、因为3个灯泡是并联，各灯泡是否能正常照明是彼此独立的，不受其他灯泡的影响，所以可以看成3次独立重复试验. 设这段时间内能正常照明的灯泡个数为X，X服从二项分布. 这段时间内吊灯能照明表示3个灯泡至少有1个灯泡能正常照明，即X?0，则吊灯能照明的概率为

P(X?0)?1?P(X?0)?1?(1?0.7)3?0.973.

说明：可以让学生思考：如果这3个灯泡串联，那么这段时间内吊灯能照明的概率是多少？以此比较两种连接方法的可靠性. 2、（1）箱子中共有4n?1个球，其中有白球2n个，设事件B表示摸到的n个球

nC2都是白球，利用古典概型计算概率的公式得到P(B)?nn.

C4n?1 （2）设事件A表示摸到的n个球都是黑球，事件C表示摸到的n个球颜色相同，则

nC2C?AB，P(A)?nn?1. 又A与B互斥，所以

C4n?1nnC2n?C2n?1. P(C)?P(A)?P(B)?nC4n?1 在已知n个球的颜色相同的情况下，设颜色是白色的概率为

nC2P(BC)P(B)P(BC)???nnn

P(C)P(C)C2n?C2n?1说明：（2）中的计算同样可以利用古典概型计算概率的公式P(BC)?到，但是这里的计数是基于原始的基本事件全体来计数.

n(BC)得n(C)3、设有3个孩子的家庭中女孩的个数为X～B(3,0.5). 至少有2个是女孩等价于事件{X≥2}，因此至少有2个女孩的概率为

111P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?C32()3?()3?.

222说明：关键是把问题转化为二项分布的模型. 当然该问题也可以利用古典概型计算概率的公式直到得到. 4、利用条件概率公式有P(BCA)?P((BC)A)P(BACA)?，

P(A)P(A)19

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因为B和C互斥，所以BA和CA也互斥，利用概率的加法公式有

P(BACA)?P(BA)?P(CA). 因

此

P(BCA)?P(BA)?P(CA)P(BA)P(CA)???P(BA)?P(CA).

P(A)P(A)P(A)习题2.2 B组（P59）

1、每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数X是随机变量，X服从二项分布.

（1）在采用3局2胜制中，X～B(3,0.6)，事件{X?2}表示“甲获胜”. 所以甲获胜的概率为P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?C32?0.62?0.4?0.63?0.648. （2）在采用5局3胜制中，X～B(5,0.6)，事件{X?3}表示“甲获胜”. 所以

甲

获

胜

的

概

率

为

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)3?C5?0.63?0.42?C54?0.64?0.4?0.65?0.683.

可以看出采用5局3胜制对甲更有利，由此可以猜测“比赛的总局数越多甲获胜的概率越大”，由此可以看出为了使比赛公平，比赛的局数不能太少. 在这个实际问题背景中，比赛局数越少，对乙队越有利；比赛局数越多，对甲队越有利. 说明：对于一个实际问题，最终目的是解决问题，而不是计算随机事件的概率. 本题背景中，应该根据计算出的概率结果对赛制提出提议.

2、设事件A1表示从甲箱子里摸出白球，事件A2表示从乙箱子里摸出白球，因为从甲箱子里摸球的结果不会影响从乙箱子里摸球的结果，所以A1和A2是相互独立的.

323P(获奖)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)????0.3.

5410尽管两个箱子里装的白球比黑球多，但获奖的概率小于0.5. 原因是除了两个球全为白球外，还有可能两个球全为黑球或两个球中一个为白球另一个为黑球，两个

221球全为黑球的概率为???0.2，两个球中一个为白球另一个为黑球的概率为

5451?0.3?0.2?0.5. 由两个箱子里装的白球比黑球多，只能推出摸出的两个球全为白球的概率大于摸出的两个球全为黑球的概率. 由于这两个事件的并不等于必然事件，因此不能推出获奖的概率大于0.5.

说明：问题的关键在于把几个事件的关系搞清楚，必然事件

??{两个球全为白球}{两个球全为黑球}{一个为白球另一个为黑球}. 3、（1）在有放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这n件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为0.02. 可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次

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