武汉理工大学2002年硕士研究生入学考试概统试题

武汉理工大学2002年硕士研究生入学考试试题

专业 应用数学 课程 概率论与数理统计

（共 2 页，共 7 大题，答题时不必抄题，标明题目序号）

（考试时间3小时，满分100分。）

一、（10分）

设有n个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r个人的概率（r

1(在圆圈排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向)。 n?1 二、（13分）

一架电梯开始时有6位乘客，并等可能地停于10层楼的每一层，假定乘客离开的各种可能性具有相同的概率，求下列事件的概率：

1）某一层有2位乘客离开； 2）没有2位乘客在同一层离开； 3）恰有2位乘客在同一层离开； 4）至少有2位乘客在同一层离开。 三、（10分）

将火炮射击目标作为坐标原点，设火炮射击时弹着点的坐标（X, Y）服从二维正态分布，密度函数为：

fX,Y(x,y)?试求弹着点与目标之间的距离R? 四、（12分）

12??2x2?y2exp(?)

2?2X2?Y2所服从的分布密度函数f R ( r )。

设某商店里每天来到的顾客数X服从泊松分布，P(X?n)??nn!e??,n?0,1,2,?；

每个顾客是否购买某种商品是独立的，概率为p；

1）．证明恰有k个顾客购买该种商品的概率也服从泊松分布，求出其参数； 2）．求出其均值与方差。 五、（10分）

设二维随机变量（X，Y）服从以原点为圆心，r为半径的圆上的均匀分布，证明X，Y的相关系数为0，但X，Y不独立。

六、（15分）

设随机变量(X,Y)的联合分布为

P(X?m,Y?n)?r!nr?m?n p1mp2p3m!n!(r?m?n)!所定义的三项分布，其中p1?p2?p3?1。按照下列方法求E(X),E(Y),D(X),D(Y)及X,Y的协方差Cov(X,Y)：

1）由直接计算；

2）分别把X和Y表成r个随机变量的和。 七、（10分）

1n设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，E(X)??，D(X)??，X??Xi表

ni?121n示样本均值，S?(Xi?X)2表示样本方差。 ?n?1i?121）求E(X)，D(X)； 2）证明S是?的无偏估计。 八、（20分）

设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，X服从指数分布：

x?1???f(x；?)???e,当x?0

?其它?0，2

2 1）求参数?的极大似然估计；

2）求参数?的矩估计；

3）证明

2nX?~?2(2n)，已知?2(n)~f(x)?122?(n)2nxn?1?x22e;

4）求?的置信度为（1??）的单侧置信下限。