11年《数学建模方法》期末考试试卷

《数学建模方法》期末考试试卷

一、（15分）以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表1所示，适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用

水量及可种植的最大面积如表2所示。

表1 农田面积和灌溉配水量 表2 农作物期望净收益、用水量

及可种植的最大面积

可耕地 最大面积 每英亩 净收益

社区 配水量 农作物

（英亩） （英亩） 用水量 （元/英亩）

甜菜 1 400 600 600 3 400 棉花 2 600 800 500 2 300 栗子 3 300 375 325 1 100

试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？建立线性规划问题的数学模型并写出用LINGO或LINDO求解的程序。

二、（15分）用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。

maxS?14x1?13x2?6x3?2x1?4x2?x3?60? 1s.t.?2x1?x2?x3?242??x1?0；x2?0；x3?0三、（15分）上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示，生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示： 产品型号 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 可利用总工时（分/天） 生产工艺 1 1 1 1 480 冲压 4 8 2 5 2400 成形 4 2 5 5 2000 装配 6 4 8 4 3000 喷漆 9 6 11 8 单产利润(元) 在现有资源的条件下如何安排生产，可获得利润最大？ 现设置上述问题的决策变量如下：x1,x2,x3,x4分别表示A、B、C、D型产品的日产量，则可建立线性规划模型如下：

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maxz?9x1?6x2?11x3?8x4?x1?x2?x3?x4?480?4x?8x?2x?5x?24001234? ?s.t.?4x1?2x2?5x3?5x4?2000?6x?4x?8x?4x?3000234?1??x1,x2,x3,x4?0利用LINGO软件进行求解，得求解结果如下：

Global optimal solution found at iteration: 4

Objective value: 4450.000 Variable Value Reduced Cost X1 400.0000 0.000000 X2 0.000000 0.5000000 X3 70.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4450.000 1.000000 2 0.000000 2.500000 3 610.0000 0.000000 4 0.000000 0.5000000 5 0.000000 0.7500000

（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；

（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；

（3）灵敏度分析结果如下：

Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease X1 9.000000 0.5000000 0.1666667 X2 6.000000 0.5000000 INFINITY X3 11.00000 0.3333333 1.000000 X4 8.000000 1.000000 1.000000 Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 480.0000 20.00000 80.00000 3 2400.000 INFINITY 610.0000 4 2000.000 400.0000 20.00000 5 3000.000 40.00000 280.0000

对灵敏度分析结果进行分析 四、（15分）（1）叙述层次分析法的步骤。

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（2）给定最佳旅游地选择问题的递阶层次结构

最佳旅游地

景色 费用 饮食 居住 旅途

苏杭 黄山 庐山

准则层（景色、费用、饮食、居住、旅途）对目标层的比较判断矩阵为：

3??11/255??1775??2A??1/51/711/21/3?，?max?5.0976，对应的归一化的特征向量

???1/51/7211/2???1/31/5321??W(2)?(0.2863,0.4809,0.0485,0.0685,0.1157)T,对于5阶矩阵随机一致性指标RI?1.12 方案层(旅游地)对准则层的每一准则比较判断矩阵分别为：

?11/31/2??0.1634?????B1(景色）??312?,?max?3.0092,P1??0.5396?,RI?0.58；

?21/21??0.2970??????132??0.5396?????B（费用）?1/311/2,??3.0092,P?0.1634????,RI?0.58； 2max2?1/221??0.2790?????43??1?0.6301?????B（饮食）??1/412?,?max?3.1078,P3??0.2184?,RI?0.58； 3?1/31/21??0.1515??????132??0.5396?????B（居住）?1/311/2,??3.0092,P?0.1634??max??,RI?0.58； 42?1/221??0.2790?????23??1?0.5396?????B（旅途）?1/212,?3.0092,P?0.2790????,RI?0.58 5max2?1/31/21??0.1364?????求方案层对目标层的权重；进行总排序的一致性检验，并给出结论。

五、（10分）模糊综合评价：某项工程招标，希望由具备以下条件的单位承包：A1—技术力量较强；A2—机械化程度较高；A3—预计工程质量较好；A4—施工期较短；A5—所

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需资金较少。现有Bj(j?1,2,3,4,5,6)家公司招标，经专家评审得到下表。

公司 B1 B2 B3 B4 标准差 平均值 条件 A1 0.85 0.91 0.75 0.82 0.8500 0.0751 A2 A3 A4 A5 0.90 0.93 0.81 0.85 0.8683 0.0811 0.70 0.82 0.91 0.76 0.8217 0.0875 0.84 0.73 0.85 0.87 0.8400 0.0600 0.75 0.87 0.95 0.92 0.8683 0.0688 请用变异系数法确定中标公司。 六、（15分）微分方程建模：已知容器内盛有1000升的盐水，含10公斤盐，如果以每分钟3升的均匀速度向容器内注入淡水，瞬间搅拌后又以每分钟2升的均匀速度将盐水抽出，则一小时后容器内的含盐量是多少？ 七、（15分）解求解模糊线性规划：

maxS?4x1?5x2?2x3?3x1?2x2?2x3?60?3x?x?x?~?330 ~s.t.?122x2?x3?10?~??x1,x2,x3?0对应的约束条件伸缩指标分别取d1?4,d2?6,d3?2 其求解步骤为： 先求解问题：

得解：x1?17525 ,x2?5,x3?0；最优值：33其次求解问题：

得解：x1?10,x2?6,x3?0；最优值：70 最后求解问题：

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