小球在空气中平抛运动的轨迹
[问题]一小球在空气中作平抛运动，初速度为v0，所受的阻力与速率成正比：f = -kv，k称为阻力系数。画出小球运动的轨迹。
[数学模型]
如B7.1图所示，小球受到重力mg，方向向下；空气阻力f，方向与速度方向相反。根据牛顿第二定律可列出直角坐标方程 x O v0 f d2xdxd2ydy，m2?mg?k。 (7.1.1) m2??kdtdtdtdt由于vx = dx/dt，vy = dy/dt，上式可化为
mg y B7.1图
dvdvxkk??vx，y?g?vy。 (7.1.2) dtmdtm分离变量得
dvydvxk??dt，?dt， vxmg?kvy/m积分得
lnvx?lnCx??kvkmt，?[ln(g?y)?lnCy]?t， mkmkmgkt)，vy?[1?exp(?t)]。 (7.1.3) mkm当t = 0时，vx = v0，vy = 0，可得Cx = -v0，Cy = -g，因此
vx?v0exp(?当t = 0时，x = 0，y = 0，积分上式可得
mv0kmgm2gkx?[1?exp(?t)]，y?t?2[exp(?t)?1]。 (7.1.4)
kmkkm这是小球的运动方程，也是以时间t为参数的轨道方程。
[算法]方法一：用解析式。取t0 = m/k为时间单位，取s0 = m2g/k2为坐标单位，坐标方程可表示为
x = s0v0*[1 – exp(-t*)]，y = s0[t* + exp(-t*) - 1]。 (7.1.4*)
其中，t* = t/t0，为约化时间；v* = kv0/mg，是小球的约化初速度。
[程序]zqy6_3ode.m的第一部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(用解析解) clear %清除变量
v0=input('请输入水平初速度kv0/mg:'); %键盘输入水平初速度 t=0:0.1:4; %时间向量
x=v0*(1-exp(-t)); %有空气阻力的横坐标 y=t+exp(-t)-1; %有空气阻力的纵坐标 fs=16; %字体大小 figure %开创图形窗口
1
plot(x,y) %画轨迹 grid on %加网格 xlabel('\\itx/s\\rm_0','FontSize',fs) %标记横坐标 ylabel('\\ity/s\\rm_0','FontSize',fs) %标记纵坐标
title('阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹','FontSize',fs)%标题
text(0,max(y),['\\itkv\\rm_0/\\itmg\\rm=',num2str(v0)],'FontSize',fs)%约化初速度 axis ij equal %原点设在左上角并使坐标间隔相等
[说明]程序执行时，从键盘输入约化初速度，例如1等值。 方法二：用两个微分方程的数值解。微分方程组(7.1.1)式可化为
d(vy/V0)gt0kt0vyd(vx/V0)ktv。 ??0x，??d(t/t0)mV0d(t/t0)V0mV0其中，t0 = m/k，V0 = gt0 = mg/k。取t* = t/t0，vx* = vx/V0，vy* = vy/V0，可得
*dvydv***x，??v?1?vxy。 (7.1.1*) **dtdt取v(1) = vx*，v(2) = vy*，可得两个一阶方程组
dv(1)dv(2)??v(1)?1?v(2)。 ，dt*dt*在初始时刻，小球约化初速度为
v(1)?vxkv0*， ??v0V0mg而v(2) = 0。在任意时刻，v(1)和v(2)表示约化速度。根据速度值，利用指令cumtrapz指令可求坐标。
[程序]zqy6_3ode.m的第二部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(求两个一阶微分方程的数值解) [t0,V]=ode45('zqy6_3fun1',t,[v0,0]);%求微分方程的数值解 x=cumtrapz(V(:,1))*t(2); %横坐标 y=cumtrapz(V(:,2))*t(2); %纵坐标 hold on %保持图像 plot(x,y,'r.') %画轨迹
程序在执行时将调用一个函数zqy6_3fun1.m。
%阻力与速度成正比的平抛运动的加速度函数 function f=fun(t,v)
f=[-v(1); %水平加速度 1-v(2)]; %竖直加速度
[说明]用两个常微分方程的数值解可求出速度，还需要求位置坐标才能画轨迹。 方法三：用四个微分方程的数值解。微分方程组(7.1.1)式可化为
2d2(x/s0)kt0d(x/s0)d2(y/s0)gt0kt0d(y/s0)，。 ????d(t/t0)2md(t/t0)d(t/t0)2s0md(t/t0)取t* = t/t0，x* = x/s0，y* = y/s0，由于t0 = m/k，s0 = m2g/k2，可得
2
d2x*dx*d2y*dy*??*，*2?1?*。 (7.1.1**) dt*2dtdtdt取r(1) = x*，r(2) = y*，r(3) = dx*/dt*，r(4) = dy*/dt*，可得四个一阶方程组
dr(1)dr(3)?r(3)??r(3)； ， dt*dt*dr(2)dr(4)?r(4)?1?r(4)。 ；dt*dt*在初始时刻，小球约化位移为r(1) = r(2) = 0，初始约化速度为
dx*t0dx1dxv0*， r(3)?*????v0dts0dtmg/kdtV0r(4) = 0。
在任意时刻，r(1)和r(2)表示约化坐标，r(3)和r(4)表示约化速度。
[程序]zqy6_3ode.m的第三部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(求四个一阶微分方程的数值解) [t0,R]=ode45('zqy6_3fun2',t,[0,0,v0,0]);%求微分方程的数值解 plot(R(:,1),R(:,2),'ko') %画轨迹
程序在执行时将调用一个函数zqy6_3fun2.m。
%阻力与速度成正比的平抛运动的函数 function f=fun(t,r)
f=[ r(3); %水平速度 r(4); %竖直速度 -r(3); %水平加速度 1-r(4)]; %竖直加速度
[说明]物体在平面上运动时，运动的微分方程组一般可化四个一阶常微分方程，要注意速度和加速度的排列顺序。
[注意]
如果取r(1) = x*，r(2) = dx*/dt*，r(3) = y*，r(4) = dy*/dt*，四个一阶方程组需要修改如下
dr(1)dr(2)?r(2)??r(2)； ， **dtdtdr(3)dr(4)?r(4)?1?r(4)。 ；dt*dt*在初始时刻，小球约化位移为r(1) = r(3) = 0，初始约化速度为
dx*t0dx1dxv0*， r(2)?*????v0dts0dtmg/kdtV0r(4) = 0。
在任意时刻，r(1)和r(3)表示约化坐标，r(2)和r(4)表示约化速度。
函数文件需要修改如下(zqy6_3fun3.m)
%阻力与速度成正比的平抛运动的函数 function f=fun(t,r)
f=[ r(2); %水平速度 -r(2); %水平加速度
3
r(4); %竖直速度 1-r(4)]; %竖直加速度
主程序需要修改如下
[t0,R]=ode45('zqy6_3fun3',t,[0,v0,0,0]);%求微分方程的数值解 plot(R(:,1),R(:,3),'ko') %画轨迹
方法四：用微分方程的符号解。公式(7.1.1**)可化为二阶微分方程
d2x*dx*d2y*dy*??0，*2?1?*?0。 (7.1.1***) dt*2dt*dtdt据此可求解微分方程的符号解。
[程序]zqy6_3ode.m的第四部分如下。
%阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹(用微分方程的符号解)
[sx,sy]=dsolve('D2x+Dx,D2y-1+Dy,Dx(0)=v0,Dy(0)=0,x(0)=0,y(0)=0')%求微分方程的符号解 x=subs(sx,'v0',v0); %替换初速度 x=subs(x,'t',t); %替换时间形成横坐标 y=subs(sy,'v0',v0); %替换初速度 y=subs(y,'t',t); %替换时间形成纵坐标 plot(x,y,'ms') %画轨迹
[说明]符号解有两个结果 sx =
v0-v0*exp(-t) sy =
exp(-t)+t-1
这与手工推导的公式相同。将数值替换符号时，数值和向量要分别替换。
[图示]如P7.1图所示，约化速度kv0/mg取为2，与无阻力的情况相比，在有空气阻力的情况下，小球的横坐标和纵坐标都小一些。如果约化速度取其他值，也可画出类似
的坐标曲线和轨迹(图略)。 P7.1图
湖南大学物电院 周群益
4
相关推荐：
loading