概率习题答案5

因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F～F(n1,n2), 则

1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)

由于1F～F(n2,n1), 所以

P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,

即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的. 习题2(1)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42; 解答：

因为Xi～N(0,1),i=1,2,?,n, 所以：

X1-X2～N(0,2), X1-X22～N(0,1), X32+X42～χ2(2),

故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422～t(2). 习题2(2)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+?+Xn2; 解答：

因为Xi～N(0,1),∑i=2nXi2～χ2(n-1), 所以

n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)～t(n-1).

习题2(3)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2. 解答：

因为∑i=13Xi2～χ2(3),∑i=4nXi2～χ2(n-3), 所以：

(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)～F(3,n-3).

习题3

设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X～N(0,22)的简单随机样本，且

Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,

则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？ 解答：

解法一 Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则

Y=Y12+Y22,

为使Y～χ2(2), 必有Y1～N(0,1),Y2～N(0,1), 因而

E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1,

注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由

D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+4×4)=20a=1,

D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)

=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1, 分别得a=120,b=1100. 这时Y～χ2(2), 自由度为n=2. 解法二 因Xi～N(0,22)且相互独立，知

X1-2X2=X1+(-2)X2～N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4～N(0,100),

故X1-2X220～N(0,1),3X3-4X4100～N(0,1), 为使

Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2～χ2(2),

必有X1-2X21/a～N(0,1),3X3-4X41/b～N(0,1), 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是

1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100.

习题4

设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32). X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量

T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92

服从自由度为9的t分布. 解答：

首先将Xi,Yi分别除以3, 使之化为标准正态.

令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,?,9, 则

X′i～N(0,1),Y′i～N(0,1);

再令X′=X′1+X′2+?+X′9, 则X′～N(0,9),X′3～N(0,1),

Y′2=Y′12+Y′22+?+Y′92, Y′2～χ2(9).

因此

T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92=X1′+X2′+?+X9′Y′12+Y′22+?+Y′92=X′Y′2=X′/

3Y′2/9～t(9),

注意到X′,Y′2相互独立. 习题5

设总体X～N(0,4), 而X1,X2,?,X15为取自该总体的样本，问随机变量

Y=X12+X22+?+X1022(X112+X122+?+X152)

服从什么分布？参数为多少？ 解答：

因为Xi2～N(0,1), 故Xi24～χ2(1),i=1,2,?,15, 而X1,X2,?,X15独立，故

X12+X22+?+X1024～χ2(10),X112+X122+?+X1524～χ2(5),

所以

X12+X22+?+X1024/10X112+X122+?+X1524/5=X12+X22+?+X1022(X112+X122+

?+X152)=Y

习题6

证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则

(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).

解答：

(1)因随机变量X服从F(n1,n2), 故可设X=U/n1V/n2, 其中U服从χ2(n1),V服从χ2(n2), 且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1, 由F分布之定义知

Y=1x=V/n2U/n1,

服从F(n2,n1).

(2)由上侧α分位数和定义知

P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,

即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α, 故

P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,

而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.

又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α, 从而

Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),

即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).

习题7

查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05. 解答：

u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.

习题8

查表求χ2分布的上侧分位数：χ0.952(5), χ0.052(5), χ0.992(10)与χ0.012(10). 解答：

1.145, 11.071, 2.558, 23.209.

习题9

查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5). 解答：

0.1623,0.0684,0.0912.

习题10

查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10). 解答：

2.353,3.365,1.415,3.169.

5.3 抽样分布 习题1 已知离散型均匀总体X,其分布律为 X 246 pi 1/31/31/3 取大小为n=54的样本，求： (1)样本平均数Xˉ落于4.1到4.4之间的概率； (2)样本均值Xˉ超过4.5的概率. 解答： μ=E(X)=13×(2+4+6)=4, σ2=E(X2)-[E(X)]2=13×(22+42+66)-42=83, 所以 μXˉ=μ=4, σXˉ2=σ2n=8/354=481, σXˉ=29. 令Z=Xˉ-42/9, 则n充分大时，Z～近似N(0,1). (1)P{4.1