样本的频率分布为xˉ=4,s2=3.6. 经验分布函数为
F10(x)={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71
,x≥8.
习题2
A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数λ未知. 为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布. 解答：
总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为
f(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ未知),
样本X1,X2,?,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,?,Xn相互独立，来自同一总体X, 所以样本的联合密度为
f(x1,x2,?,xn)={λne-λ(x1+x2+?+xn),x1,x2,?,xn>00,其它.
习题3
设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求：
(1)来自X的简单随机样本X1,X2,?,Xn的密度f(x1,x2,?,xn); (2)Y=max{X1,X2,?,Xn}的密度fY(x); Z=min{X1,X2,?,Xn}的密度fZ(x).
解答：
(1)X的密度为f(x)={1b-a,x∈(a,b)0,其它, 由于X1,X2,?,Xn独立且与X同分布，所以有 f(x1,x2,?,xn)=∏i=1nf(xi)={1(b-a)n,a≤x1≤?≤xn≤b0,其它. (2)由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为
F(x)={0,x
由Y=max{X1,X2,?,Xn}及Z=min{X1,X2,?,Xn}分布函数的定义 FY(x)=[F(x)]n, FZ(x)=1-[1-F(x)]n, 于是有
fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x∈[a,b], fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1?f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x∈[a,b].
习题4
在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布
N(a,0.2). 若以Xˉ表示n次称量结果的算术平均值，求使P{∣Xˉ-a∣<0.1}≥0.95成立的称量次数n的最小值.
解答：
因为Xˉ=1n∑i=1nXi～N(a,(0.2)2n), 所以
Xˉ-a0.2/n～N(0,1),
故
P{∣Xˉ-a∣<0.1}=P{∣Xˉ-a0.2/n∣<0.10.2/n=2Φ(n2)-1≥0.95,
即Φ(n2)≥0.975, 查正态分布表得n2≥1.96, 所以n≥15.37, 即n=16. 习题5
设总体X～N(20,3), 从X中抽取两个样本X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15, 求概率P{∣
Xˉ-Yˉ∣>0.3}.
解答：
因为X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15独立同分布，所以
Xˉ～N(20,310), Yˉ～N(20,0.2),
于是Xˉ-Yˉ～N(0,0.5).
P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}=P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5>0.3/0.5} =1-P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5≤0.3/0.5} =2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628] =0.6744(查正态分布表). 习题6
设总体X～N(μ,σ2), 假如要以0.9606的概率保证偏差∣Xˉ-μ∣<0.1, 试问：当σ2=0.25时，样本容量n应取多大？ 解答：
P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606, 即
P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606,
?Φ(0.1n0.25)=0.9803?n5=2.06?n≈106.
P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606, 即
P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n.
习题7 设X1ˉ和X2ˉ分别为来自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个简单随机样本
X11,X12,?,X1n和X21,X22,?,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过σ的概率小于0.05.
解答：
Xiˉ～N(μ,σ2n)(i=1,2), 且X1ˉ和X2ˉ相互独立，故有
X1ˉ-X2ˉ～N(0,2σ2n),
从而X1ˉ-X2ˉσ/2/n～N(0,1),
P(∣X1ˉ-X2ˉ∣>σ)=P{∣X1ˉ-X2ˉ∣σ2/n>n2=2Φ(-n2) =2[1-Φ(n2)]<0.05,
故Φ(n2)>0.975, 查正态分布表n2≥1.96, 所以n>7.68, 即取n=8.
习题8
设总体X～f(x)={∣x∣,∣x∣<10,其它，X1,X2,?,X50为取自X的一个样本，试求：
(1) Xˉ的数学期望与方差； (2) S2的数学期望； (3) P{∣Xˉ∣>0.02}.
解答：
μ=E(X)=∫-11x∣x∣dx=0,
σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=∫-11x2∣x∣dx=12. (1) Xˉ=1n∑i=1nXi(n=50)
?E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(Xˉ)=σ2n=12n=1100; (2) E(S2)=[1n-1∑i=1n(Xi-Xˉ)2]=1n-1E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]
=1n-1E(∑i=1nXi2-nXˉ2)=1n-1(∑i=1nD(X1)-nD(Xˉ)) =1n-1(n?12-n?12n)=12;
(3) P{∣Xˉ∣>0.02}=1-P{∣Xˉ∣≤0.02}
=1-P{∣Xˉ-μD(Xˉ)∣≤0.02-μD(Xˉ) =1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414.
习题9
从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02, 求总体的标准差. 解答：
由于Xˉ～N(μ,σ2n), 故有
0.02=P{∣Xˉ-μ∣≥4}=P{∣Xˉ-μσ/n∣≥4σ/n ≈2(1-Φ(4σ/n))≈2(1-Φ(12.65σ)),
Φ(12.65σ)=0.99,
即有12.65σ=u0.01=2.33, 解得σ≈5.43.
习题10
设X1,?,Xn是取自总体X的样本，Xˉ,S2分别为样本均值与样本方差，假定
μ=E(X),σ2=D(X)均存在，试求E(Xˉ),D(Xˉ),E(S2).
解答：
E(Xˉ)=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1nE(X)=μ, D(Xˉ)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1nD(X)=σ2n,
E(S2)=E(1n-1(∑i=1nXi2-nXˉ2))=1n-1(∑i=1nE(Xi2)-nE(Xˉ2))
=1n-1(∑i=1nE(X2)-nE(Xˉ2))
=1n-1(∑i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2.
注：本题证明了对于任何存在均值μ与方差σ2的总体分布，均有
E(Xˉ)=μ,E(S2)=σ2.
习题11
设总体X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0), 从总体中抽取简单随机样本X1,?,X2n(n≥2), 其样本均值为Xˉ=12n∑i=12nXi, 求统计量Y=∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2的数学期望. 解答：
注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2μ,2σ2), 则它们可认为是取自同一正态总体N(2μ,2σ2)的样本，其样本均值为
1n∑i=1n(Xi+Xn+i)=1n∑i=12nXi=2Xˉ.
如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,?,n, 即Zi(i=1,?,n)是取自N(2μ,2σ2)的样本，且
Yn-1=1n-1∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2=S2(Z),
则有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2, 所以E(Y)=2(n-1)σ2. 习题12
设有k个正态总体Xi～N(μi,σ2), 从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,?,Xini, 且各组样本间相互独立，记
Xiˉ=1n∑j=1niXij(i=1,2,?,k),n=n1+n2+?+nk,
求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2的分布. 解答：
因为∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2σ2=(ni-1)Si2σ2～χ2(ni-1), 且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,?,k)相互独立，故
W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2=∑i=1k(ni-1)Si2σ2～χ2(∑i=1k(ni-1)),
而∑i=1k(ni-1)=∑i=1kni-k=n-k, 故
W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2～χ2(n-k).
习题13
已知X～t(n), 求证X2～F(1,n). 解答：
设X=U/Yn, 其中U～N(0,1),Y～χ2(n). 且U与Y相互独立，于是，
U2～χ2(1),
且U2与Y也相互独立，所以
X2=U2/(Yn).
根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布. 习题14
设X1,X2,?,X9是取自正态总体X～N(μ,σ2)的样本，且
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