概率习题答案5

Y1=16(X1+X2+?+X6), Y2=13(X7+X8+X9),

S2=12∑i=79(Xi-Y2)2,

求证Z=2(Y1-Y2)S～t(2). 解答： 易知

Y1=16(X1+X2+?+X6)～N(μ,σ26), Y2=13(X7+X8+?+X9)～N(μ,σ23),

且Y1与Y2独立，故Y1-Y2～N(0,σ22), 又

2S2σ2=∑i=79(Xi-Y2)2/σ2～χ2(2), Y1-Y2与2S2σ2

独立，从而

(Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z～t(2).

习题15

设X1,?,Xn,Xn+1是取自正态总体X～N(μ,σ2)的样本，

Xnˉ=1n∑i=1nXi, Sn=1n-1∑i=1n(Xi-Xnˉ)2,

试确定统计量nn+1?Xn+1-XnˉSn的分布. 解答：

将统计量改写成下列形式：

nn+1?Xn+1-XnˉSn=(Xn+1-Xnˉ)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1) (*)

由于Xn+1与Xi(i=1,?,n)相互独立，

Xnˉ=1n∑i=1nXi～N(μ,σ2n), Xn+1～N(μ,σ2),

所以Xn+1-Xnˉ～N(0,(1+1n)σ2), 从而

(Xn+1-Xnˉ)/(1+1nσ)～N(0,1),

注意到Xnˉ与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且

(n-1)Sn2σ2～χ2(n-1),

故由(*)式即得

nn+1?Xn+1-XnˉSn～t(n-1).

习题16

假设X1,X2,?,X9是来自总体X～N(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c, 使

Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2

服从χ2分布，并求其自由度. 解答：

由于X1,X2,?,X9相互独立且取自总体X～N(0,22), 由正态分布的线性运算性质有

X1+X2～N(0,8), X3+X4+X5～N(0,12), X6+X7+X8+X9～N(0,16),

于是，由χ2=χ12+?+χk2有

Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216～χ2(3),

故a=1/8,b=1/12,c=1/16, 自由度为3. 习题17(1)

17.从总体X～N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求Xˉ与μ之差的绝对值小于2的概率： (1)已知σ2=25; 解答：

由σ=5,U统计量(Xˉ-μ)/σn～N(0,1),

P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/σn<2/516 =P{∣U∣<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904. 习题17(2)

17.从总体X～N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求Xˉ与μ之差的绝对值小于2的概率： (2)σ2未知，但s2=20.8. 解答：

由T统计量(Xˉ-μ)/Sn～t(n-1),

P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/Sn<2/20.816 =P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90. 习题18(1)

18.设X1,X2,?,X10取自正态总体N(0,0.32), 试求 (1)P{∑i=110Xi2>1.44;

解答：

由∑i=1n(Xi-μ)2σ2～χ2(n)题中μ=0, 因此

P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1.

习题19

(1)设总体X具有方差σ12=400, 总体Y具有方差σ22=900, 两总体的均值相等，分别自这两个总体取容量为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为Xˉ,Y,ˉ 试利用切比雪夫不等式估计k, 使得P{∣Xˉ-Yˉ∣

(2)设在(1)中总体X和Y均为正态变量，求k.

解答：

(1)由题设

E(Xˉ-Yˉ)=E(Xˉ)-E(Yˉ)=0,

D(Xˉ-Yˉ)=D(Xˉ)+D(Yˉ)=400400+900400=134(由两样本的独立性). 由切比雪夫不等式

P{∣Xˉ-Yˉ∣

按题意应有1-1k2×134=0.99, 解得k=18.028.

(2)由题设X,Y均为正态变量，故有

Xˉ-Yˉ～N(0,134).

因此

P{∣Xˉ-Yˉ∣

Φ(k13/4)≥0.995=Φ(2.58),k13/4≥2.58,k≥4.651.

习题20

假设随机变量F服从分布F(5,10), 求λ的值使其满足P{F≥λ}=0.95. 解答：

一般书中给出的F分布表，给出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等几个较小的值，而现α=0.95, 不能直接查F表得到λ, 但是注意到P{F≥λ}=0.95, 并且

P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05,

而F-1～F(10,5), 因此可查表得

1λ=F0.05(10,5)=4.74, λ≈0.21.

习题21

设X1,X2,?,Xn是总体X～N(μ,σ2)的一个样本，证明：

E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=(n2-1)σ4.

解答： 因为

χ2=∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2～χ2(n-1),E(χ2)=n-1, D(χ2)=2(n-1),

所以

E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=σ4E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2]2 =σ4E[χ2]2=σ4[D(χ2)+[E(χ2)]2] =σ4[2(n-1)+(n-1)2]=(n2-1)σ4.