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?(x)?x1x2
《常微分方程》试题八
一、填空题（每题4分，共20分）
1． 1．形如y'?P(x)y?Q(x)（P(x),Q(x)连续）的方程是 一
阶线性微分
原方程的通积分为
?yy(e?)dx??dy?C1x 即
1x20ex?yx?C,C?e?C1
9．解 由于?M?N?y?2x??x，所以原方程是全微分方程．
取(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为
xy
?0(2xy?cosx)dx??0dy?C 即 x2y?sinx?y?C
10．解 原方程可化为
(yy??x2)??0 于是
ydydx?x2?C1 积分得通积分为
12y2?C11x?3x3?C2
y?e?P(x)dx????Q(x)e??P(x)dxdx?c?方程，它的通解为
?? .
??y'?x2?y2x2)dx 2. 初值问题
?y(0)?0y?的解与积分方程
?(x2?y0
的解等价. 如果取
?0(x)?0，试用逐步逼近法求
?1(x)=
x?[x2??02(x)]dx?x303 ；
x2x3x7?x)??[x??12(x)]dx??2( 0363 .
3．若y1(x),y2(x),?,yn(x)为 n 阶线性微分方程 y(n)?p1(x)y(n?1)???pn(x)y?0
的解，其中
p1(x),p2(x),?,pn(x)在区间
?a,b?上连续，则
y1(x),y2(x),?,yn(x)在?a,b?上线性无关的充分必要条件是
y1(x)y2(x)?yn(x)W[yy'2(x)?y'n(x)1(x),?,yy'1(x)n(x)]??????0,?x?[a,b]y(n?1)1(x)y(n?1)(x)?y(n?1)2n(x)37
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4．若?(t)是n阶齐线性微分方程组x'?A(t)x在区间?a,b?上的一
个基解矩阵，则n阶非齐线性微分方程组x'?A(t)x?f(t)的一个特解是
x??(t)???1(s)f(s)ds
??dxdt??x?y?1??dydt?2x?7y?195．方程组?的奇点是 (3, -2) ，其类型
和稳定性为
焦点；稳定 .
二、求下列微分方程的解（每题5分，共20分）
dydx?y2x?y21．. 解：原方程不是未知函数y的线性方程，但可以将它改写为
dx2x?2dy?yy,即
dxdy?2yx?y. （3分）
于是所求得的通解为
x?e?P(y)dy????Q(y)e??P(y)dydy?c????y2(c?ln|y|).（2分）
2．
(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0. 解：这里M?3x2?6xy2,N?6x2y?4y3.因为
38
?M?y?12xy??N?x，所以方程为恰当方程. （3分）
于是方程的通解为
u?x3?3x2y2?y4?c。（2分）
(dy)3?2xdy?y3．dxdx?0. dy?p,解： 解出y， 并令dx得到y?p3?2xp,两边关于x求导数
并化简，得到
3p2dp?2xdp?pdx?0.(2分)
当
p?0时，解之得
c?34x?4pp2，
代入
y?p3?2xp,得到 2(c?34)y?p3?4pp,（2分）
因此，得到方程的参数形式的通解为：
??c?x??p2?34p2,2c(p?0)???y?p?132p..（1分）
当p=0时，由方程直接推知y=0也是方程的解.（1分）
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4．
yy\?(y')2?0.
y'?z直接计算可得
y\?z解：令
dzdy，于是原方程化为
?3?11??A??201????1?12??，它的特征值为 解：方程的系数矩阵为
dzdz?z2?0y?z?0dy，得到z?0或dx，（3分）
cdycz??y2?cx?c(c?2c)ydxy121积分后得到，即，所以，yz这就是原方程的通解.（2分）
三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）
1．x''?2x'?3x?1?1
（1重）；?2?2（2重）.(2分)
?0???u1??????????；对?1?1，求得（3分） ?????u2??????????.（3分） 对?2?2，求得
于是求得基解矩阵为
?3t?1.
解：先求对应的齐线性方程x''?2x'?3x?0的通解：
2特征方程为??2??3?0有两个根?1?3,?2??1.因此通解为 x?ce3t?ce?t.12（5分）
再利用待定系数法，求得x''?2x'?3x?3t?1的一个特解：
1x*??t3.（7分）
因此，原方程的通解为
?(1?t)e2t?exp(At)???et?(1?t)e2t??et?e2t??故原方程组的通解为
?te2tet?te2tet?e2t?te2tet?te2tet?e2tte2t??2tte??e2t??，（10分） te2t??c1???2tte??c2???2te???c3???1x?ce3t?ce?t?t?.123（3分）
2.
?x'?3x?y?z,??y'?2x?z,?z'?x?y?2z.?
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2t??x1??(1?t)e?????et?(1?t)e2tx??x2???t2t??x3????e?e?（2分）
四、（每题8分，共16分）
.
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?x???x?y??x3????xy1． 讨论方程组?零解的稳定性，其中常数??0
点的稳定。
（6分）
五、应用题（9分）
物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例，如果物体在20
，
分钟内由100???k解：（1）一次近似的特征方程为
1?k?1?0C冷至60?C，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到
k2??k?1?0,k? 当 ?分）
????4230?C？假设空气的温度为20?C.
解：设在t时刻物体的温度为x(t)度，(1分)则由题意可得微分方程的Cauchy问题 ， （4分）
?0，零解不稳定，当 ??0，零解稳定。 （4
v?12(x?y2)2或（2）．取 ，
324???v?xx?yy?x(?x?y??x)?y(?x)??(x?x)则
（4分）
在(0,0)充分小邻域，当??x'(t)?k(x(t)?20)?x(0)?100?（2分）
kt由微分方程x'(t)?k(x(t)?20)，解之得x(t)?20?ce（度）.（2
分）
，
因为当t?20时，x(t)?60（度），及x(0)?100，解得
?定正，零解不稳定，当??0,v?0，v,v?定负， 定正，v??0，为常负，故为稳定，但不渐近稳定。 零解渐近稳定，当??0,v（4分）
1． 2． 利用李雅普诺夫函数讨论无阻尼单摆运动方程
gsin??0l
平衡点的稳定性。（只讨论??0）。
g?y??sin???y,?l解：令 则， （2分）
1gg??0??yy??sin??vv?y2?(1?cos?),l2l取则 ，故平衡
????
40
ln220.（3分）
于是当x(t)?30度时， t?60（分钟）.（1分） c?80,k?
六、证明题 （5分）
1． 证明：
y(x)?0,y??py?f(x)的任一解满足xlim???此处，常数
p?0，
函数证
?xf(x)?0f(x) 在 (0,??)连续且xlim???。
明
：
因
xy?e?tx0pdx(y0??f(x)ex0x?x0pdxxdx)?e?p(tx?x0)(y0??f(x)ep(x?x0)dx)x0
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