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解：原式=lim(1n??2?32)(23?43)?(n?1n?n?1n)?lim1n?11n??2?n?2
2、（7分）计算极限 limtanx?sinxx?0x3
sinx?sinx12解：原式=limcosxx?0x3?lim1?cosxxx?0x2cosx?lim21x?0x2cosx?2 3、（7分）计算极限 lim(2x?3x?1x??2x?1)
lim(12?1x???2x?1)x?1?lim(1x???1)x?122x?1解：原式=
2?lim(11x11
x???)?2?lim(1?1)2?ex?1x??2x?124、（7分）计算极限
lim1?xsinx?1x?0ex2?1
1xsinx解：原式=lim21x?0x2?2 5、（7分）设limx3?ax2?x?4x??1x?1 具有极限l，求a,l的值
解：因为2xlim(??1x?1)?0，所以 lim(x??1x3?ax?x?4)?0，
因此
a?4 并将其代入原式
x3l?lim?4x2?x?4(x?1)(x?1)(x?4)x??1x?1?limx??1x?1?10
6、（8分）设
?(x)?x3?3x?2,?(x)?c(x?1)n，试确定常数c,n，使得
?(x)??(x)
?(x)?x3?3x?2?(x?1)2(x?2)解：
?lim(x?1)2(x?2) 此时，?(x)??(xx?1c(x?1)2?3c,?c?3,n?2) ?17、（7分）试确定常数
a，使得函数
f(x)???xsinx?0
?x?a?x2x?0在(??,??)内连续
解：当x?0时，f(x)连续，当x?0时，f(x)连续。
lim1
x?0?f(x)?limx?0xsinx?0 所以 当a?0时，f(x)在x?0连续
lim2x?0?f(x)?lim(x?0a?x)?a33
专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 因此，当a?0时，f(x)在(??,??)内连续。
f(x)在开区间(a,b)内连续，a?x1?x2?b，试证：在开区
常微分方程期中考试试卷(3)
一、填空题（12分） 1．
8、（10分）设函数
fy?(x,y)连续是保证方程
2间(a,b)内至少存在一点c，使得
2．方程x(ydy?f(x,y)初值惟一的 条件． dx ．
?1)dx?y(x2?1)dy?0所有常数解是
t1f(x1)?t2f(x2)?(t1?t2)f(c)证明：因为
(t1?0,t2?0)
二、单项选择题（18分） 1．微分方程
f(x)在(a,b)内连续，a?x1?x2?b，所以 f(x)在[x1,x2]上
f(x)在[x1,x2]上存在最大值M和最小值
ylnydx?(x?lny)dy?0是（ ）
（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）全微分方程 （D）贝努利方程 2．微分方程
连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，
m，即在[x1,x2]上，m?f(x)?M，所以
，又因为 t1y??y?x?2（ ）．
(t1?t2)m?t1f(x1)?t2f(x2)?(t1?t2)M
?t2?0，所以
（A）无奇解 （B）一定有奇解 （ C）有奇积分曲线 （D）可能有奇解
这样的题属于中等题，主要是检查大家对奇解概念的理解情况，以及对不存在奇解的判别法的掌握情况．
tf(x1)?t2f(x2)m?1?Mt1?t2c?(x1,x2)?(a,b)，使得
，由连续函数的介值定理知：存在
选项（A）正确，填写答案：“A”． 3．方程
t1f(x1)?t2f(x2)?f(c)，即
t1?t2(t1?0,t2?0) 证毕。
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dy?1?y2dx过点(0, 0)的解为
． y?sinx，此解存在区间是（ ）
（A）(??,??) （B）(??,0] （C）[0,??) （D）[???,] 22t1f(x1)?t2f(x2)?(t1?t2)f(c)
三、计算题：（60分） 求下列方程的通解或通积分：
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dy 1.
y3、这样的题属于较难题，主要是检查大家对常微分方程几何意义的理解．x?x(1?y2) 2. dyyydx?x?(x)2d 选项（D）正确，填写答案：“D”．
3. dy?3y?e2xdx 4．(2xy?cosx)dx?(x2?1)dy?0
dyyy三、计算题1．解 当
y?1时，分离变量得
y 5．yy???(y?)2?0 6. dx?x?tanx
1?y2dy?xdx
7. dydx?2xy?4x 8. (x2ey?y)dx?xdy?0
等式两端积分得
?y1?y2dy??xdx?C1
9．
(2xy?cosx)dx?(x2?1)dy?0
110．
yy???y?2?2x?0
2ln1?y2?12x2?C1湖州师院2004-2005学年度第一学期 1?y2?Ce?x2,C??e?2C1
数学与应用数学专业常微分方程模拟试参考答案
方程的通积分为
y2?1?Ce?x2
一、填空题。
1、这样的题属于中等题，主要是检查大家对“李普希兹条件是保证初值问题解惟一的充分条 2．解 令
y?xu，则y??u?xdudx，代入原方程，得 件而并非是必要条件”这一点是否了解． 填写答案：“充分”． u?xdu 2．
y??1，x??x?u?u2，xdudx??u21
d
二、选择题。
当u?0时，分离变量，再积分，得 ??duu2??dxx?C
1、这样的题属于容易题，主要是检查大家对微分方程基本类型的熟悉程度． 选项（B）正确，填写答案：“B”．
12、这样的题属于中等题，主要是检查大家对奇解概念的理解情况，以及对不存在奇解的判别u?lnx?C，u?1lnx?C
法的掌握情况．
选项（A）正确，填写答案：“A”．
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，
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即通积分为：
y?xlnx?C
3．解 齐次方程的通解为
y?Ce?3x 令非齐次方程的特解为
y?C(x)e?3x
代入原方程，确定出
C(x)?15e5x?C
原方程的通解为
y?Ce?3x+15e2x
4．解 由于?M?y?2x??N?x，所以原方程是全微分方程．
取(x0,y0)?(0,0)，原方程的通积分为
xy
?0(2xy?cosx)dx??0dy?C
即
x2y?sinx?y?C 5．解 原方程为恰当导数方程，可改写为
(yy?)??0， 即 yy??C 积分得通积分
y2?C1x?C2
6．解 令yx?u，则dydx?u?xdudx，代入原方程，得 u?xdudx?u?tanu，xdudx?tanu
当tanu?0时，分离变量，再积分，得
?dudxtanu??x?lnC
lnsinu?lnx?lnC
即通积分为：
sinyx?Cx 7．解 对应的齐次方程
dydx?2xy?0 的通解为
y?Ce?x2
令非齐次方程解为
y?C(x)e?x2
?2ex2代入原方程，得C(x)?C
原方程通解为 y?Ce?x2?2
8．解 积分因子为
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