总习题六高等数学同济大学第六版本

总习题七 1? 填空

(1)设在坐标系[O? i? j? k]中点A和点M的坐标依次为(x0? y0? z0)和(x? y? z)? 则在[A? i? j? k] 坐标系中? 点M的坐标为___________? 向量OM的坐标为___________? 解 M(x?x0? y?y0? z?z0)? OM?(x, y, z)? 提示? 自由向量与起点无关? 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变? (2)设数?1、?2、?3不全为0? 使?1a??2b??3c?0? 则a、b、c三个向量是__________的? 解 共面? (3)设a?(2? 1? 2)? b?(4? ?1? 10)? c?b??a? 且a?c? 则??____________? 解3? 提示? 因为a?c? 所以a?c?0? 又因为由a?c?a?b??a?a?2?4?1?(?1)?2?10??(22?12?22)?27?9?? 所以??3? (4)设a、b、c都是单位向量? 且满足a?b?c?0? 则a?b?b?c?c?a?____________? 解 ?3? 2?? 提示? 因为a?b?c?0? 所以(a?b?c)?(a?b?c)?0? 即 a?a?b?b?c?c?2a?b?2a?c?2c?a?0? 于是 a?b?b?c?c?a??1(a?a?b?b?c?c)??1(1?1?1)??3? 222 (5)设|a|?3? |b|?4? |c|?5? 且满足a?b?c?0? 则|a?b?b?c?c?a|?____________? 解36? 提示? c??(a?b)? a?b?b?c?c?a?a?b?b?(a?b)?(a?b)?a?a?b?b?a?b?a?3a?b? |a?b?b?c?c?a|?3|a?b|?3|a|?|b|?3?3?4?36? 2? 在y 轴上求与点A(1? ?3? 7)和点B(5? 7? ?5)等距离的点? 解 设所求点为M(0? y? 0)? 则有 12?(y?3)2?72?52?(y?7)2?(?5)2? 即 (y?3)2?(y?7)2? 解得y?2? 所求的点为M(0? 2? 0)? 3? 已知?ABC的顶点为A(3,2,?1)、B(5,?4,7)和C(?1,1,2)? 求从顶点C所引中线的长度? 解 线段AB的中点的坐标为(3?5, 2?4, ?1?7)?(4, ?1, 3)? 所求中线的长度为 222 d?(4?1)2?(?1?1)2?(3?2)2?30? 4? 设?ABC的三边BC?a、CA?b、AB?c? 三边中点依次为D、E、F? 试用向量a、

???

b、c表示AD、BE、CF? 并证明

??????AD?BE?CF?0????

2 解 AD?AB?BD?c?1a? BE?BC?CE?a?1b? 2??? CF?CA?AF?b?1c? 2???33 AD?BE?CF?(a?b?c)?(?c?c)?0 22??? 5? 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边? 且其长度等于第三边长度的一半? 证明 设D? E分别为AB? AC的中点? 则有 DE?AE?AD?1(AC?AB)? 2????? BC?BA?AC?AC?AB? 所以 1DE?BC2???????? 从而DE//BC? 且|DE|?1|BC|? 2 6? 设|a?b|?|a?b|? a?(3? ?5? 8)? b?(?1? 1? z)? 求z ? 解a?b?(2? ?4? 8?z)? a?b?(4? ?6? 8?z)? 因为|a?b|?|a?b|? 所以 解得z?1? 7? 设|a|?3? |b|?1? (a,^ b)??? 求向量a?b与a?b的夹角? 622?(?4)2?(8?z)2?42?(?6)2?(8?z)2? 解 |a?b|2?(a?b)?(a?b)?|a|2?|b|2?2a?b?|a|2?|b|2?2|a|?|b|cos(a?^ b)?3?1?23cos??7? 6 |a?b|2?(a?b)?(a?b)?|a|2?|b|2?2a?b?|a|2?|b|2?2|a|?|b|cos(a?^ b)?3?1?23cos??1? 6 设向量a?b与a?b的夹角为?? 则 cos??(a?b)?(a?b)|a?b|?|a?b|27?|a|2?|b|23?12??? |a?b|?|a?b|7?17 ??arccos?

8? 设a?3b?7a?5b? a?4b?7a?2b? 求(a, b) ? 解 因为a?3b?7a?5b? a?4b?7a?2b? 所以 (a?3b)?(7a?5b)?0? (a?4b)?(7a?2b)?0? 即 7|a|2?16a?b?15|b|2 ?0? 7|a|2?30a?b?8|b|2 ?0? 又以上两式可得 |a|?|b|?2a?b? ^于是 cos(a, b)?a?b?1? (a,^ b)??? ^|a|?|b|23 9? 设a?(2? ?1? ?2)? b?(1? 1? z)? 问z为何值时(a, b)最小？并求出此最小值? 解 cos(a,^ b)?a?b?1?2z|a|?|b|32?z2^? ^^因为当0?(a,^ b)??时? cos(a, b)为单调减函数? 求(a, b)的最小值也就是求f(z)?1?2z232?z2的最大值? z 令f?(z)?1??4??0? 得z??4? 23/23(2?z) 当z??4时? cos(a,^ b)?2? 所以(a,^ b)min?arccos22??24? 10? 设|a|?4? |b|?3? (a,^ b)??? 求以a?2b和a?3b为边的平行四边形的面积? 6 解 (a?2b)?(a?3b)??3a?b?2b?a?5b?a? 以a?2b和a?3b为边的平行四边形的面积为 ^ |(a?2b)?(a?3b)|?5|b?a|?5|b|?|a|sin(a, b)?5?3?4?1?30? 2 11? 设a?(2? ?3? 1)? b?(1? ?2? 3)? c?(2? 1? 2)? 向量r满足r?a? r?b? Prjcr?14? 求r? 解 设r?(x? y? z)? 因为r?a? r?b? 所以r?a?0? r?b?0? 即 2x?3y?z?0? x?2y?3z?0? 又因为Prjcr?14? 所以r?1c?14? 即 |c| 2x?y?2z?42? 解线性方程组

?2x?3y?z?0??x?2y?3z?0??2x?y?2z?42? 得x?14? y?10? z?2? 所以r?(14? 10? 2)? 另解 因为r?a? r?b? 所以ijkr与a?b?2?31??7i?5j?k1?23平行? 故可设r??(7? 5? 1)? 又因为Prjcr?14? 所以r?1c?14? r?c?42? 即 |c| ?(7?2?5?1?1?2)?42? ??2? 所以r?(14? 10? 2)? 12? 设a?(?1? 3? 2)? b?(2? ?3? ?4)? c?(?3? 12? 6)? 证明三向量a、b、c共面? 并用a和b表示c ? 证明 向量a、b、c共面的充要条件是(a?b)?c?0? 因为 ijka?b??132??6i?3k2?3?4 ? (a?b)?c?(?6)?(?3)?0?12?(?3)?6?0? 所以向量a、b、c共面? 设c??a??b? 则有 (???2?? 3??3?? 2??4?)?(?3? 12? 6)? 即有方程组 ????2???3??3??3??12??2??4??6? 解之得??5? ??1? 所以c?5a?b ? 13? 已知动点M(x,y,z)到xOy平面的距离与点M到点(1, ?1, 2)的距离相等? 求点M的轨迹方程? 解 根据题意? 有 |z|?(x?1)2?(y?1)2?(z?2)2? 或 z2?(x?1)2?(y?1)2?(z?2)2? 化简得

(x?1)2?(y?1)2?4(z?1)? 这就是点M的轨迹方程?

14? 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴? (1)z?2(x2?y2)?

解 旋转曲面的一条母线为zOx面上的曲线z?2x2? 旋转轴为z轴?