总习题六高等数学同济大学第六版本

22x2y (2)??z?1? 36936 解 旋转曲面的一条母线为 (3)z2?3(x2?y2)? 2x2yxOy面上的曲线??1? 旋转轴为369y轴? 解 旋转曲面的一条母线为yOz面上的曲线z?3y? 旋转轴为z轴? (4)x?2y24?z2?1? 4 2 解 旋转曲面的一条母线为xOy面上的曲线x? y24?1? 旋转轴为x轴? 15? 求通过点A(3? 0? 0)和B(0? 0? 1)且与xOy面成?角的平面的方程? 3 解 设所求平面的法线向量为n?(a? b? c)? BA?(3, 0, ?1)? xOy面的法线向量为k?(0? 0? 1)? ? 按要求有n?BA?0? n?k?cos?? ?|n|?|k|3即 ?3a?c?0?c1??222?2?a?b?c? 解之得c?3a? b??26a? 于是所求的平面的方程为 (x?3)?26y?3z?0? 即 x?26y?3z?3? 或x?26y?3z?3?

16? 设一平面垂直于平面z?0? 并通过从点(1, ?1, 1)到直线?面方程? 解 直线??y?z?1?0?x?0?y?z?1?0?x?0的垂线? 求此平

的方向向量为s?(0? 1? ?1)?(1? 0? 0)?(0? ?1? ?1)?

?y?z?1?0?x?0 设点(1, ?1, 1)到直线?的垂线交于点(x0? y0? z0)? 因为点(x0? y0? z0)在直线

?y?z?1?0??x?0上? 所以(x0? y0? z0)?(0? y0? y0?1)? 于是? 垂线的方向向量为 s1?(?1? y0?1? y0)? 显然有s?s 1?0? 即 ?y0?1?y0?0? y0??1? 2从而s1?(?1, y0?1, y0)?(?1, 1, ?1)? 22 所求平面的法线向量可取为 n?k?s1?k?(?i?1j?1k)??1i?j? 222所求平面的方程为 ?1(x?1)?(y?1)?0? 即x?2y?1?0 2 17? 求过点(?1, 0, 4)? 且平行于平面3x?4y?z?10?0? 又与直线x?1?1y?3z?12相交的直线的方程? 解 过点(?1, 0, 4)? 且平行于平面3x?4y?z?10?0的平面的方程为 3(x?1)?4(y?0)?(z?4)?0? 即3x?4y?z?1?0? y?3z?化为参数方程x??1?t? y?3?t? z?2t? 代入平面方程3x?4y?z?1?0? 将直线x?1?112得 3(?1?t)?4(3?t)?2t?1?0? 解得t?16? 于是平面3x?4y?z?1?0与直线x?1?1y?3z?12的交点的坐标为(15? 19? 32)? 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标? 所求直线的方向向量为 s?(15? 19? 32)?(?1, 0, 4)?(16? 19? 28)? 所求直线的方程为 y x?1??z?4? 161928 18? 已知点A(1, 0, 0)及点B(0, 2, 1)? 试在z轴上求一点C? 使?ABC的面积最小? 解 设所求的点为C(0? 0? z)? 则AC?(?1, 0, z)? BC?(0, ?2, z?1)? 因为 ijkAC?BC??10z?2zi?(z?1)j?2k0?2z?1????? 所以?ABC的面积为

S?1|AC?BC|?14z2?(z?1)2?4? 22?? 令dS?1?dz48z?2(z?1)4z2?(z?1)2?4?0? 得z?1? 所求点为C(0, 0, 1)? 55 19?

?z?2?x2?y2求曲线?22?z?(x?1)?(y?1)在三个坐标面上的投影曲线的方程?

解 在xOy面上的投影曲线方程为 ??z?0?(x?1)2?(y?1)2?2?x2?y2? 即??x2?y2?x?y?z?0? 在zOx面上的投影曲线方程为 ?z?(x?1)2?(?2?x2?z?1)2??y?0?2x2?2xz?z2?4x?3z?2?0? 即?? ?y?0 在yOz面上的投影曲线方程为 222??2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0 ?z?(?2?y?z?1)?(y?1)? 即?? ?x?0?x?0 20? 求锥面z?x2?y2与柱面z2?2x所围立体在三个坐标面上的投影? 解 锥面与柱面交线在xOy面上的投影为 ??z?0?2x?x2?y2? 即??(x?1)2?y2?1? z?0??(x?1)2?y2?1? z?0?所以? 立体在xOy面上的投影为? 锥面与柱面交线在yOz面上的投影为 ??z21?z?(z2)2?y2?(?2)2?y2?1 ?? 即?2? 2???x?0?x?0?z2?(?2)2?y2?1所以? 立体在yOz面上的投影为?2? ??x?0 锥面z?x2?y2与柱面z2?2x与平面y=0的交线为 ?和?z?2x? ?y?0?y?0所以? 立体在zOx面上的投影为

?z?|x|?

? ?x?z?2x? ?y?0 21? 画出下列各曲面所围立体的图形? y (1)抛物柱面2y2?x? 平面z?0及x??z?1? 422

(2)抛物柱面x2?1?z? 平面y?0? z?0及x?y?1?

(3)圆锥面z?x2?y2及旋转抛物面z?2?x2?y2?

(4)旋转抛物面x2?y2?z? 柱面y2?x? 平面z?0及x?1?