天行健 君子以自强不息
概率部分
1、事件：随机事件、确定性事件 、必然事件和不可能事件
2、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n次实验中发了
P?A??mn
m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一
② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况
③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它
具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率
④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的
趋势，而频率是具体的统计的结果
⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
3、概率必须满足三个基本要求：
对任意的一个随机事件A ，有0?P?A??1
用?和?分别表示必然事件和不可能事件,则有P????1,P????0
如果事件A和B互斥,则有:P?A?B??P?A??P?B?
4、古典概率
① 所有基本事件有限个
② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生
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1的概率都是n，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为
5、几何概型
P?A??mn
一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的
一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为
P?A??d的侧度D的侧度 （ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，
一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体
图像的侧度为其体积 ）
几何概型的基本特点
① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
6、互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
7、对立事件
两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件A的对立事
,则 P?AB??P?A?P?B?，件记为：A独立事件的概率：若A , B 为相互独立的事件事件
,则 P?A1A2...An??P?A1?P?A2?...P?An? 若A1 , A2, ... , An 为两两独立的事件,则 A , B 中最多有一个发生,可能都不发说明：① 若A , B 为互斥事件生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集
② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可
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能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生对立事件一定是互斥事件
从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集
⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1
⑥ 若事件A,B是互斥事件，则有P?A?B??P?A??P?B? ⑦ 一般地，如果
A1,A2,...,An 两两互斥，则有
P?A1?A2?...?An??P?A1??P?A2??...?P?An?
⑧ P?A??1?PA
⑨ 在本教材中A1?A2?...?An 指的是A1,A2,...,An 中至少发生一个
例1． 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A， 意义为“选取3个球都是白球”
4?3?23C4143?2?1 ?4?3?2?1 ? PA?3?? P?A? ?1 - PA?1 - ?654555C6(6?5?4)3?2?1
??????解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
3C6?6?5?4?203?2?1种情
况，设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A所含有的基本
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事件数有.
22?C4?1?4?2?4?3164?16P?A???2205 ， 所以
解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A的情况如下：
2431???6545 红 白 白
4321??? 1红2白 白 白 红 6545
4231???6545 白 红 白
2141??? 红 红 白 65415 2411???65415 2红1白 红 白 红
4211??? 白 红 红 65415 114P?A??3??3??5155 所以
.
例2. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率： （1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件A为“第1次抽到的是次品”， 事件B为“抽到的2次中，正品、次品各一次” 则
P?A??214?2?2?4424424?P?B???P?B??????63 ，6?69（或者66669）
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