(易错题精选)初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编附答案(1)

（易错题精选）初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编附答案(1)

一、选择题

1．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2x2?3x?5的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x的值，明明负责找值为4时x的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ） （1）聪聪认为找不到实数x，使2x2?3x?5的值为0； （2）明明认为只有当x?1时，2x2?3x?5的值为4；

（3）伶伶发现2x2?3x?5有最小值；（4）俐俐发现2x2?3x?5有最大值 A．（1）（2） 【答案】B 【解析】 【分析】

解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x2﹣3x+5配方为2（x﹣

B．（1）（3）

C．（1）（4）

D．（1）（2）（4）

3）431，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 8【详解】

2

+

解：（1）2x2﹣3x+5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x，使2x2﹣3x+5的值为0正确，符合题意，

1，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有2当x＝1时，2x2﹣3x+5的值为4错误，不符合题意，

（2）2x2﹣3x+5＝4，解得x1＝1，x2＝（3）∵2x2﹣3x+5＝2（x﹣又∵（x﹣∴2（x﹣

3231）+，

8432

）≥0， 4323131）+≥，

884∴2x2﹣3x+5有最小值，故伶伶发现2x2﹣3x+5有最小值正确，符合题意，

（4）由（3）可知2x2﹣3x+5没有最大值，故俐俐发现2x2﹣3x+5有最大值错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】

本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．

2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )

A．168(1＋a%)2＝128 C．168(1－2a%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

B．168(1－a%)2＝128 D．168(1－a2%)＝128

解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，

第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B.

3．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若b＝2ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；

③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（ ） A．只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】

判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△?b2?4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0． 【详解】

解：①若b?2ac，方程两边平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；

②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0

方程x2﹣bx+ac＝0中根的判别式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac2+bc+c＝0成立， 当c≠0时ac+b+1＝0成立；当c＝0时ac+b+1＝0不成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，可得x0??b?b2?4ac，

2aB．只有①②④ C．①②③④ D．只有③④

把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac＝（2ax0+b）2， 综上所述其中正确的①②④． 故选：B． 【点睛】

此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2?4ac?(2ax0?b)2．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△?0?方程有两个不相等的实数根； （2）△?0?方程有两个相等的实数根； （3）△?0?方程没有实数根．

4．某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（ ） A．x?40%?10%

2B．100(1?40%)(1?10%)?(1?x) D．(100?40%)(100?10%)?100(1?x)2

C．(1?40%)(1?10%)?(1?x)2 【答案】C 【解析】 【分析】

设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案． 【详解】

解：设平均每次增长的百分数为x，

∵某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%， ∴商品现在的价格为：100(1?40%)(1?10%)，

∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x， ∴商品现在的价格为：(1?x)， ∴100(1?40%)(1?10%)?100(1?x)， 整理得：(1?40%)(1?10%)?(1?x)， 故选：C． 【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．

222

5．若a，b为方程x2?5x?1?0的两个实数根，则2a2?3ab?8b?2a的值为（ ） A．-41 【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把2a2?3ab?8b?2a变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案． 【详解】

∵a，b为方程x2?5x?1?0的两个实数根，

B．-35

C．39

D．45

∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1， ∴2a2?3ab?8b?2a =2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2 =2×0+3×（-1）+8×5+2 =39． 故选：C． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=?键．

bcx2=；熟练掌握韦达定理是解题关，x1·aa

a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程 6．已知一元二次方程 dx?e?0有一

a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0有两个相等的实数根，则个公共解x=x1，若一元二次方程 （ ）

A．a?x1?x2??d C．a?x1?x2??d 【答案】B 【解析】 【分析】

2B．a?x2?x1??d D．a?x2?x1??d

2a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与 由x=x1是方程 dx?e?0的一个公共解可得x=x1是

a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得方程 ?(ax1?ax2?d)，整理后即可得答案．

a【详解】

x1+x1=?a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与 ∵ dx?e?0有一个公共解x=x1，

a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0的一个解， ∴x=x1是方程 a(x?x1)(x?x2)??dx?e??ax2?(ax1?ax2?d)x?ax1x2?e?0，

a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0有两个相等的实数根， ∵一元二次方程 ?(ax1?ax2?d)，

a∴a(x2-x1)=d， 故选：B． 【点睛】

∴x1+x1=?本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么

x1+x2=?bcx2=；熟练掌握韦达定理是解题关键． ，x1·aa

7．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】

解：设原数为m，则新数为设新数与原数的差为y

12m ， 1001212m??m?m， 100100易得，当m＝0时，y＝0，则A错误

则y?m?∵?1?0 100b1m?﹣?﹣?50 时，y有最大值．则B错误，D正确． 2a当?1?2??﹣??100?当y＝21时，?12m?m＝21 100解得m1＝30，m2＝70，则C错误． 故答案选：D． 【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

8．关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ） A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫 C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种