数学竞赛 梅涅劳斯定理 

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。 任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

中文名 梅涅劳斯定理 外文名 Menelaus 别 称 梅氏定理

表达式 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 提出者 梅涅劳斯

提出时间 1678年 应用学科 数学，物理 适用领域范围 平面几何学 适用领域范围 射影几何学

定理内容

定理证明

证明一

过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则

两式相乘得

证明三

连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。 AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1）， BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2）， CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA

=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA） =S△CDF：S△ADF………… （3） （1）×（2）×（3）得

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图： 充分性证明：

△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。

连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1 又∵

共线

∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以

推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）

此外，用该定理可使其容易理解和记忆：

第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1

即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。 该形式的梅涅劳斯定理也很实用。

证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。 第二角元形式的梅涅劳斯定理

在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE /sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 梅涅劳斯球面三角形定理

在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么

数学意义

使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯逆定理

定理

若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足

AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 注意定理中提到的三个点的位置，在梅涅劳斯逆定理中，三个点要么只有两个在三角

形边上，要么一个都不在三角形边上。

即：该逆定理成立的前提是三个点有偶数个点在三角形边上。 否则为塞瓦定理逆定理。

证明方式

已知：E、F是△ABC的边AB、AC上的点，D是BC的延长线的点，且有：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。求证：E、F、D三点共线。思路：采用反证法。先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。再证P与F重合。

证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。

由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得： (AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 ∴ AP/PB=AF/FB ；

∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ； ∴ AB/PB=AB/FB ；

∴ PB=FB；即P与F重合。 ∴ D、E、F三点共线。

注意

首先我们已知图中的直线关系：三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边相交于一点，然后再来求各个边的关系。

梅涅劳斯的功劳在于，他根据上图的现象，发现了关系式：AF/FB×BD/DC×CE/EA=1 然后反过来再证明，如果满足这个关系，那么那条线是直线

总之：从现象发现等式，再从等式反推现象，这两个工作使得这一发现成为定理。 问题：

梅涅劳斯是怎么根据图中的现象发现或者计算出等式AF/FB×BD/DC×CE/EA=1 这个问题请大家思考。