3.3.3 函数的最大(小)值与导数
[学习目标] 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.
知识点一 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.
知识点二 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
知识点三 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
题型一 求函数在闭区间上的最值
例1 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]. 解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x f′(x) f(x)
∴当x＝4时，f(x)取最大值35. 当x＝－2时，f(x)取最小值－37. 即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0， ∴f′(x)在[－1,1]上为增函数. 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步.但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值. (2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得. 跟踪训练1 求下列函数的最值： 1
(1)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]；
2
(2)f(x)＝ex－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
－
－2 －37 (－2,0) ＋ ↗ 0 0 极大值 3 (0,2) － ↘ 2 0 极小值 －5 (2,4) ＋ ↗ 4 35 1
解 (1)f′(x)＝＋cosx，x∈[0,2π].
22π4π
令f′(x)＝0，得x＝或x＝. 33
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
0 0 ?0，2π? 3??＋ 单调递增↗ 2π 30 π3＋ 32?2π，4π? ?33?－ 单调递减↘ 4π 30 2π3－ 32?4π，2π? ?3?＋ 单调递增↗ 2π π 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 即f(x)的最小值为0，最大值为π.
1?1＋e1xx
x′－(e)′＝－x－e＝－(2)f′(x)＝?. ?e?eex当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立， 即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝ea－ea；
－
2x
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e0－e0＝0.
－
即f(x)的最小值为ea－ea，最大值为0.
－
题型二 含参数的函数的最值问题
例2 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 解 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3). 令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，
故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞). (2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)＞f(－2)， 因为在(－1,3)上f′(x)＞0， 所以f(x)在[－1,2]上单调递增，
所以f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5，
所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， 于是有22＋a＝20，解得a＝－2. 所以f(－1)＝－2－5＝－7，
即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.
反思与感悟 函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最值的问题时，一般
都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数与极值的有力工具.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值. 解 由题意，知a≠0.
因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]， 所以令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去).
若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) [－1,0) ＋ 单调递增 0 0 极大值 (0,2] － 单调递减 由上表，知当x＝0时，f(x)取得最大值， 所以f(0)＝b＝3，
又因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3， 故f(－1)＞f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值， 即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
若a＜0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29. 又因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29， 故f(2)＞f(－1).
所以当x＝2时，f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，解得a＝－2.
???a＝2，?a＝－2，综上所述，所求a，b的值为?或?
?b＝3???b＝－29.
[－1,0) － 单调递减 0 0 极小值 (0,2] ＋ 单调递增
题型三 函数最值的应用
例3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0). (1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围. 解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)， ∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去). 当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t g′(t) g(t) (0,1) ＋ 单调递增 1 0 1－m (1,2) － 单调递减 ∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m， h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立， 也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立， 只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1. 故实数m的取值范围是(1，＋∞).
反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数，若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围. 解 由题意，知f(1)＝－3－c. 因此b－c＝－3－c，从而b＝－3. 所以对f(x)求导，得 1
f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·－12x3
x＝x3(4alnx＋a－12).
由题意，知f′(1)＝0，即a－12＝0，得a＝12. 所以f′(x)＝48x3lnx(x＞0)， 令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数； 当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数. 所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值.
所以要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立， 只需－3－c≥－2c2即可.
3
整理，得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.
2
相关推荐：
loading