[原创]2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷 理科数学（A卷） 教师版

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2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷

理科数学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，复数a?2i2?i为纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．1 B．?1 C．12 D．2

【答案】A

【解析】∵a?2i(a?2i)(2?i)2?i?(2?i)(2?i)?2a?2?(a?4)i5为纯虚数，∴??a?1?0?a?4?0，解得a?1．2．命题“?xx20?R，e0?log2x0?x0”的否定是（ ） A．“?x?R，ex0?log202x0?x0”

B．“?x?R，ex0?logx202x0?0”

C．“?x?R，ex?log22x?x” D．“?x?R，ex?log2x?x2”

【答案】D

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，

所以：命题“?xR，ex0?log2”的否定是：“?x?R，ex?log20?2x0?x02x?x”．

3．“双曲线方程为x2?y2?3”是“双曲线离心率e?2”的（ ） A．充要条件

B．充分不必要条件 C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第1页（共16页） 【答案】B

【解析】双曲线的标准方程为x23?y23?1，则a?b?3，

双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心e?2，即充分性成立，

反之若双曲线离心e?2，则双曲线为等轴双曲线，但方程不一定为x2?y2?3， 即必要性不成立，

即“双曲线方程为x2?y2?3”是“双曲线离心e?2”的充分不必要条件．

4．已知函数f(x)?lnx?2x2?4x?1，则函数f(x)的图象在x?1处的切线方程为（ ）A．x?y?2?0 B．x?y?2?0 C．x?y?2?0 D．x?y?2?0

【答案】C

【解析】∵f(x)?lnx?2x2?4x?1，∴f?(x)?1x?4x?4，k?f?(1)?1， 当x?1，时y??1，即切点的坐标为(1,?1)，

根据点斜式可得y?(?1)?1?(x?1)，化成一般式为x?y?2?0． 5．我们知道：在平面内，点(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离公式为

d?Ax?By?CA2?B2．通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x?2y?2z?3?0的距离为（ ） A．3 B．5

C．

5217 D．35

【答案】B

【解析】因为在平面内，点(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离公式为d?Ax?By?CA2?B2，

类比可得：点(2,4,1)到平面x?2y?2z?3?0的距离为d?2?2?4?2?1?3?1512?22?223?5． 故选B．

6．对于曲线C:x2y24?k?k?1?1，给出下面四个命题：（1）曲线C不可能表示椭圆；（2）

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第2页（共16页）

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1?k?52；（3）若曲线C表示双曲线，则k?1或

k?4；（4）当1?k?4时曲线C表示椭圆，其中正确的是（ ） A．（2）(3) B．（1）(3)

C．（2）(4)

D．(3)(4)

【答案】A

?【解析】①若曲线C表示椭圆，则?4?k?0?k?1?0，即k?(1,5)U(5,4)?时，曲线C?4?k?k?122表示椭

圆，故（1）错误；

?4?k?0②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则??k?1?0，解得1?k?5?，故（2）正确；?4?k?k?12

③若曲线C表示双曲线，则(4?k)(k?1)?0，解得k?4或k?1，故（3）正确； ④由（1）可知，（4）错误．

7．设x，y?R，空间向量a?(x,2,1)，b?(1,y,3)，c?(?1,2,?3)，且a?c，b∥c，则a?b?c?（ ） A．3 B．6

C．26

D．23 【答案】B

【解析】∵a?c，∴?x?4?3?0，解得x?1，∴a?(1,2,1)，

?1???又b∥c，设b??c，则??y?2??????1???3??3??y??2，∴b?(1,?2,3)，∴a?b?c?(1,2,1)，

∴a?b?c?1?4?1?6．

18．利用定积分的几何意义，可得?21?x2dx?（ ）

0A．π B．π

C．π23

D．π4

【答案】B

【解析】函数y?1?x2表示单位园位于x轴上方的部分，

11结合定积分的几何意义可得?21?x2dx?2?1?x2dx?2?1?(π?12)?π．0042

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第3页（共16页） 9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，L这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图1所示)，则三角形数的一般表达式f(n)?（ ）

A．n?2 B．n(n?1) C．

n(n?1)1)(n?2)2 D．

(n?2 【答案】C

【解析】当n?1时，1?1?22?2；当n?2时，3?32；当n?3时，6?3?42； 当n?4时，10?4?52， 猜想：f(n)?n(n?1)2．

10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个4?100米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ） A．甲 B．乙

C．丙

D．丁

【答案】C

【解析】由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁第一棒，甲第四棒，符合题意．

故跑第三棒的人是丙．故选C．

11．已知抛物线x2??8y，O为坐标原点，F为其焦点，当点P在抛物线C上运动时，

POPF的最大值为（ ）

A．

233 B．43

C．

52 D．54

【答案】A

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第4页（共16页）

【解析】抛物线的焦点F(0,?2)，设点P(x,y)(y?0)，x2??8y， 2则

POx2?y2y?8yPF??12?4x2?(y?2)2?(y?2)2?(y?2)2?(y?2)?1， 设t?1y?2(?12?t?0)．∴POPF??12t2?4t?1??12(t?146)2?3． ∵?12?t?0，∴t??16时，即y??4时，POPF的最大值为233．

12．已知f(x)为定义在R上的可导函数，f'(x)为其导函数，且f(x)?f'(x)?1?0，

f(0)?2019，则不等式exf(x)?ex?2020(其中e为自然对数的底数)的解集为（ ）

A．(0,??) B．(??,0)U(0,??) C．(2019,??)

D．(??,0)U(2019,??)

【答案】A

【解析】设g(x)?exf(x)?ex，则g?(x)?exf(x)?exf?(x)?ex?ex[f(x)?f?(x)?1]， ∵f(x)?f'(x)?1?0，ex?0，∴g?(x)?ex[f(x)?f?(x)?1]?0， ∴g?x?是R上的增函数，

又g(0)?f(0)?1?2020，∴g(x)?exf(x)?ex?2020的解集为(0,??)， 即不等式exf(x)?ex?2020的解集为(0,??)．故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．用数学归纳法证明：1?1112?3?KK?2n?1?n(n?1)，在第二步证明从n?k到n?k?1成立时，左边增加的项数是__________（用含有k的式子作答)． 【答案】2k

【解析】假设n?k成立，即1112?3?K?2k?1?k， 则n?k?1成立时有11112?3?????2k?1?2????1k?2k?2k?1?k?1， 好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第5页（共16页） 所以左边增加得项数是2k?2k?1?(2k?1)?2k．

14．如图，在正四棱锥P?ABCD中，PA?AB，点M为PA的中点，uuBDur??uuuBNr． 若MN?AD，则实数??_______．

【答案】4

【解析】连接AC，交BD于O，

以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PA?AB?2，则A(2,0,0)，D(0,?2,0)，P(0,0,2)，M(22,0,22)，B(0,2,0)，uBDuur?(0,?22,0)，

设N(0,b,0)，则uuBNur?(0,b?2,0)，

∵uuBDur??uuuBNr，∴?22??(b?2)，∴b?2??222??22?，∴N(0,?,0)，

uuuMNr?(?22??222uuur2,?,?2)，AD?(?2,?2,0)，

∵MN?AD，∴uuuMNr?uuuADr?1?2??4??0，解得实数??4． 15．若实数a,b,c,d满足b?a2?4lna?2c?d?2?0，则(a?c)2?(b?d)2的最小值为

__________． 【答案】5

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第6页（共16页）

【解析】∵b?a2?4lna?2c?d?2?0，∴b?4lna?a2，d?2c?2， 分别令f(x)?4lnx?x2，g(x)?2x?2，

问题转化为曲线f(x)上的点与直线g(x)上的点之间的距离平方的最小值，

f?(x)?4x?2x，设与直线y?2x?2平行且与曲线f(x)相切的切点为P(x0,y0)， 则4x?2x0?2,x0?0，解得x0?1，可得切点P(1,?1)， 0切点P(1,?1)到直线y?2x?2的距离d?2?1?25?5，

∴(a?c)2?(b?d)2的最小值为d2?5．

x2y216．过双曲线a2?b2?1(a?0,b?0)的左焦点向圆x2?y2?a2作一条切线，若该切线与

双曲线的两条渐近线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐近线截得的线段长为3a，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】2

【解析】因为切线过双曲线的左焦点，所以设切线方程为y?k(x?c)，即kx?y?kc?0，且kck2?(?1)2?a，

因为切线与两条渐近线交于第一、二象限，所以k?0， 又因为c?0，所以

kca?k2?1，kc?ak2?1， k2c2?a2(k2?1)，k2(c2?a2)?a2，k2b2?a2，

因为k?0，a?0，b?0，所以k?ab，

因为双曲线的一条渐近线为y??bax，ab?(?ba)??1，所以切线与该条渐近线垂直．

设两个交点分别为A，B，坐标原点为O，则OA?a，AB?3a，所以tan?AOB?3，

因为0??AOB?π，所以?AOB?π3， 则渐近线y?bπbax的斜率为tan[(π?3)?2]?3，所以a?3，

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第7页（共16页） 因为a2?b2?c2，所以a2?(3a)2?c2，c2a2?4，e2?4，

因为e?0，所以e?2．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设命题P：实数x满足x2?4ax?3a2?0，其中a?0；命题q：实数x满足

x?3x?2?0． （1）若a?1，且p?q为真，求实数x的取值范围； （2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）(2,3)；（2）1?a?2．

【解析】由x2?4ax?3a2?0，得(x?a)(x?3a)?0， 其中a?0，得a?x?3a，a?0，则p:a?x?3a，a?0． 由

x?3x?2?0，解得2?x?3，即q:2?x?3． （1）若a?1，则p:1?x?3，若p?q为真，则p，q同时为真，即??2?x?3?1?x?3，

解得2?x?3，∴实数x的取值范围是(2,3)．

（2）若?p是?q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，∴??3a?3?a?1?a?2，即??a?2，

解得1?a?2．

18．（12分）（1）已知a，b都是正数，并且a?b，求证：a5?b5?a2b3?a3b2； （2）若x，y都是正实数，且x,y?2，求证：

1?xy?2与1?yx?2中至少有一个成立．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）(a5?b5)?(a2b3?a3b2)?(a5?a3b2)?(b5?a2b3)

?a3(a2?b2)?b3(b2?a2)?(a2?b2)(a3?b3)?(a?b)(a?b)2(a2?ab?b2)， 因为a，b都是正数，所以a?b?0，a2?ab?b2?0，

好教育云平台 期末考试备考精编金卷 第8页（共16页）